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Bjr j'ai un problème avec mon DM de 1ere ES et j'aurais besoin d'aide merci. Voici le sujet:


Monsieur X place à intérêts composés la somme de 100 000e le premier janvier 2004 au taux de 8%.
On note Un la somme obtenue au bout de n années.

Madame Y place à intérêts simples la somme de 170 000e le premier janvier 2004 au taux de 5,8%.
On note Vn la somme obtenue au bout de n années.

1) Déterminer la nature de (Vn) et de (Un)
2) a/ déterminer Un et en fonction de n
b/ déterminer Vn et en fonction de n
3) En quelle année le capital de Monsieur X dépassera-t-il le capital de Madame Y?
4) A l'aide de la calculatrice, trouver le nombre d'années au bout duquel le capital Un aura doublé.




Répondre :

Bonjour,

1)

Somme placée le 1er janvier 2004 par X : U₀ = 100000
Somme placée le 1er janvier 2004 par Y : V₀ = 170000

Au 1er janvier 2005 :

U₁ = U₀ + U₀ x 8% = U₀ + 0,08xU₀ = 1,08U₀
V₁ = V₀ + V₀ x 5,8% = V₀ + 0,058xV₀

Au 1er janvier 2006 :

U₂ = U₁ + U₁ x 8% = 1,08U₁ = 1,08 x 1,08U₀ = (1,08)² x U₀
V₂ = V₁ + V₀ x 5,8% = (V₀ + 0,058V₀) + 0,058V₀ = V₀ + 2 x 0,058V₀ = V₀ (1 + 0,116)

etc...

Au 1er janvier (2004+n) :

Un = (1,08)ⁿ x U₀

Vn = V₀(1 + 0,058 x n)

Donc Un+1 = (1,08)ⁿ⁺¹ x U₀ = 1,08 x (1,08)ⁿ x U₀ = 1,08 x Un

(Un) est donc une suite géométrique de premier terme U₀ = 100000 et de raison q = 1,08.

Et Vn+1 - Vn = V₀(1 + 0,058(n+1)) - V₀(1 + 0,058n)

= V₀ + 0,058nV₀ + 0,058V₀ - V₀ - 0,058nV₀

= 0,058V₀

= 0,058 x 170000

= 9860

Donc Vn+1 = Vn + 9860

(Vn) est donc une suite arithmétique de premier terme V₀ = 170000 et de raison r = 9860

2) a) Un = 100000 x (1,08)ⁿ
b) Vn = 170000 + 9860n

3) Voir fichier joint (excel avec les formules et image si tu n'as pas excel)

Réponse : 2020

4) idem

Réponse : en 2014, donc au bout de 10 ans

Voir l'image SCOLADAN
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