Bonjour
G4elle
[tex]C(x)=x^3-6x^2+13x[/tex]
1) a) Calculer le coût de fabrication de 2000 objets, c'est-à-dire C(2).
[tex]C(2)=2^3-6\times2^2+13\times2=8-24+26=10\Longrightarrow\boxed{C(2)=10}[/tex]
D'où le coût de fabrication de 2000 objets s'élève à 10 000 €.
b) Vérifier que pour tout réel x : [tex]C(x)=(x-2)^3+x+8[/tex]
Utilisons la formule [tex](a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3[/tex]
[tex](x-2)^3+x+8\\\\=x^3-3\times x^2\times2+3x\times2^2-2^3+x+8\\\\=x^3-6x^2+12x-8+x+8\\\\=x^3-6x^2+13x\\\\=C(x)\\\\\Longrightarrow\boxed{C(x)=(x-2)^3+x+8}[/tex]
c) La fonction f définie sur [0;+oo[ par [tex]f(x)=(x-2)^3[/tex] possède les mêmes variations que la fonction "cube" définie sur [0;+oo[.
Or la fonction "cube" est strictement croissante sur [0;+oo[.
Donc la fonction f définie par [tex]f(x)=(x-2)^3[/tex] est strictement croissante sur [0;+oo[.
La fonction g définie par g(x) = x+8 est une fonction affine dont le coefficient directeur est 1 > 0 ==> la fonction g est strictement croissante sur [0;+oo[.
Puisque la fonction C est la somme de deux fonctions strictement croissantes sur [0;+oo[, nous en déduisons que la fonction C est strictement croissante sur sur [0;+oo[.
2) a) Calculer le coût moyen de production quand l'entreprise fabrique 1000 objets, 2000 objets, 4000 objets.
[tex]C(1)=1^3-6\times1^2+13\times1=8\Longrightarrow C_M(1)=\dfrac{C(1)}{1}=\dfrac{8}{1}=8[/tex]
D'où le coût moyen de production pour 1000 objets fabriqués est de 8000 €.
[tex]C(2)=10\Longrightarrow C_M(2)=\dfrac{C(2)}{2}=\dfrac{10}{2}=5[/tex]
D'où le coût moyen de production pour 2000 objets fabriqués est de 5000 €.
[tex]C(4)=4^3-6\times4^2+13\times4=20\Longrightarrow C_M(4)=\dfrac{C(4)}{4}=\dfrac{20}{4}=5[/tex]
D'où le coût moyen de production pour 4000 objets fabriqués est de 5000 €.
b) Exprimer le coût moyen CM(x) en fonction de x
[tex]C_M(x)=\dfrac{C(x)}{x}\\\\C_M(x)=\dfrac{x^3-6x^2+13x}{x}\\\\C_M(x)=\dfrac{x(x^2-6x+13)}{x}\\\\\boxed{C_M(x)=x^2-6x+13}[/tex]
c) A l'aide de la calculatrice, trouver le minimum de CM et la valeur en laquelle il est atteint.
Comme fenêtre graphique, nous pouvons choisir :
Xmin : -2
Xmax : 10
Scale : 1
Ymin : -5
Ymax : 15
Scale : 1
Le graphique aura la même allure que le graphique posté en pièce jointe.
Le minimum est donc égal à 4 et il est atteint en 3.
Par conséquent, le coût moyen de production minimal est égal à 4000 €.
Ce minimum sera atteint si l'entreprise fabrique 3000 objets.
3) Chaque objet est vendu 5 €.
Résoudre l'équation CM(x) = 5.
[tex]C_M(x)=5\\\\x^2-6x+13=5\\\\x^2-6x+8=0\\\\\Delta=(-6)^2-4\times1\times8=36-32=4\ \textgreater \ 0\\\\x_1=\dfrac{6-\sqrt{4}}{2}=\dfrac{6-2}{2}=\dfrac{4}{2}=2\\\\x_2=\dfrac{6+\sqrt{4}}{2}=\dfrac{6+2}{2}=\dfrac{8}{2}=4[/tex]
D'où les solutions de l'équation CM(x)=5 sont x=2 et x=4.
Les points morts de la production sont les valeurs de x telles que le bénéfice est nul, soit les valeurs de x telle que le coût moyen de fabrication est égal au prix unitaire de vente.
Ces points morts sont donc les solutions de l'équation : CM(x) = 5.
Par conséquent, les points morts de la production sont 2000 objets et 4000 objets.
b) Résoudre l'inéquation CM(x) ≤ 5.
[tex]C_M(x)\le5\\\\x^2-6x+13\le5\\\\x^2-6x+8\le0\\\\racines:2\ et\ 4\\\\\\\begin{array}{|c|ccccccc|} x&0&&2&&4&&+\infty \\x^2-6x+8&&+&0&-&0&+&\\\end{array}\\\\\\x^2-6x+8\le0\Longleftrightarrow x\in[2\ ;\ 4][/tex]
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'inéquation est [tex]\boxed{S=[2\ ;\ 4]}[/tex]
Cet ensemble représente les valeurs de x telles que le coût moyen est inférieur ou égal au prix unitaire de vente.
Il représente donc les valeurs de x telles que le bénéfice est positif ou nul.
On en déduit que la plage de bénéfice de l'entreprise est l'intervalle [2000 ; 4000]
