Bonjour,
1) h = HM = Rsinα = sinα
et r = OH = Rcosα = cosα
2) Volume cylindre = Aire de la base x hauteur
⇒ f(α) = πr² x h = πcos²αsinα = π(1 - sin²α)sinα = π(sinα - sin³α)
avec α∈[0;π/2]
3)
f'(α) = π(cosα - 3cosαsin²α) = πcosα(1 - 3sin²α)
4) sin(α₀) = 1/√3
Sur [0;π/2], cosα ≥ 0
⇒ Le signe de f'(α) dépend du signe de (1 - 3sin²α)
soit du signe de (1 - √3sinα)(1 + √3sinα) qui s'annule pour α = α₀
α 0 α₀ π/2
cosα + + 0
1 - √3sinα + 0 -
1 + √3sinα + +
f'(α) + 0 - 0
f(α) crois. décrois.
f(0) = 0
f(α₀) = π(1/√3 - 1/3√3) = 2π/3√3
f(π/2) = 0
6) et 7) f est maximum pour α = α₀ = arcsin(1/√3) = 35°environ à 1° près.
et f(α₀) = 2π/3√3 ou 2√3π/9
8) .....
9) a)
f(α + 2π) = π(sin(α + 2π) - sin³(α + 2π))
= π(sinα - sin³α)
= f(α)
⇒ f périodique de période 2π
b)
f(-α) = π(sin(-α) - sin³(-α))
= π(-sinα + sin³α) = -f(α) ⇒ f impaire
Cf courbe
