Répondre :
Bonjour Naaat59
[tex]1)\ a)\ z_1=1\times(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\boxed{\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}}\\\\\\z_2=1\times(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\boxed{\dfrac{\sqrt{2}+i\sqrt{2}}{2}}\\\\\\b)\ \dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{\sqrt{2}+i\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{1+i\sqrt{3}}{\sqrt{2}+i\sqrt{2}}=\dfrac{(1+i\sqrt{3})(\sqrt{2}-i\sqrt{2})}{(\sqrt{2}+i\sqrt{2})(\sqrt{2}-i\sqrt{2})}[/tex]
[tex]=\dfrac{\sqrt{2}-i\sqrt{2}+i\sqrt{6}+\sqrt{6}}{2+2}=\dfrac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})+i(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}\\\\\Longrightarrow\boxed{\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}+i\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}[/tex]
[tex]c)\ \left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|=\dfrac{|z_1|}{|z_2|}=\dfrac{1}{1}=1\\\\\\\arg(\dfrac{z_1}{z_2})=\arg(z_1)-\arg(z_2)=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{12}\\\\\\\Longrightarrow\dfrac{z_1}{z_2}=1\times(\cos\dfrac{\pi}{12}+i\sin\dfrac{\pi}{12})\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\dfrac{z_1}{z_2}=\cos\dfrac{\pi}{12}+i\sin\dfrac{\pi}{12}}[/tex]
d) En identifiant les deux formes du quotient [tex]\dfrac{z_1}{z_2}[/tex], nous en déduisons que
[tex]\boxed{\left\{\begin{matrix}\cos\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\\\\\sin\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \end{matrix}\right.}[/tex]
[tex]2)\ z=\dfrac{1+i}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}+i\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\\a)\ |z|=\sqrt{(\dfrac{1}{\sqrt{2}})^2+(\dfrac{1}{\sqrt{2}})^2}=\sqrt{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}}=\sqrt{1}=1\Longrightarrow\boxed{|z|=1}\\\\\\Si\ \arg(z)=\theta,\ alors:\\\\\left\{\begin{matrix}\cos\theta=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{1}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\\\sin\theta=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{1}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\boxed{\theta=\dfrac{\pi}{4}+k.2\pi}[/tex]
D'où
[tex]z=1\times(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4})\\\\\boxed{z=\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}}[/tex]
[tex]b)\ z^{2013}=\cos\dfrac{2013\pi}{4}+i\sin\dfrac{2013\pi}{4}[/tex]
Or [tex]\dfrac{2013\pi}{4}=\dfrac{2016\pi}{4}-\dfrac{3\pi}{4}=504\pi-\dfrac{3\pi}{4}=252\times2\pi-\dfrac{3\pi}{4}[/tex]
Donc
[tex]z^{2013}=\cos(-\dfrac{3\pi}{4})+i\sin(-\dfrac{3\pi}{4})\\\\\\\boxed{z^{2013}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}}}[/tex]
[tex]c)\ \arg(z^n})=\dfrac{n\pi}{4}[/tex]
[tex]z^n[/tex] est un imaginaire pur si [tex]\dfrac{n\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}+k\pi[/tex]
Or
[tex]\dfrac{n\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\Longleftrightarrow\dfrac{n\pi}{4}=\dfrac{2\pi}{4}+\dfrac{4k\pi}{4}\Longleftrightarrow n\pi=2\pi+4k\pi\\\\\Longleftrightarrow n\pi=(2+4k)\pi\\\\\Longleftrightarrow n=2+4k\ \ (k\in\mathbb{Z})[/tex]
Puisque n est un nombre naturel, la plus petite valeur de n pour que [tex]z^n[/tex] soit un imaginaire pur est donnée par k=0.
Par conséquent, la plus petite valeur de n est n = 2.
[tex]1)\ a)\ z_1=1\times(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\boxed{\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}}\\\\\\z_2=1\times(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\boxed{\dfrac{\sqrt{2}+i\sqrt{2}}{2}}\\\\\\b)\ \dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{\sqrt{2}+i\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{1+i\sqrt{3}}{\sqrt{2}+i\sqrt{2}}=\dfrac{(1+i\sqrt{3})(\sqrt{2}-i\sqrt{2})}{(\sqrt{2}+i\sqrt{2})(\sqrt{2}-i\sqrt{2})}[/tex]
[tex]=\dfrac{\sqrt{2}-i\sqrt{2}+i\sqrt{6}+\sqrt{6}}{2+2}=\dfrac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})+i(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}\\\\\Longrightarrow\boxed{\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}+i\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}[/tex]
[tex]c)\ \left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|=\dfrac{|z_1|}{|z_2|}=\dfrac{1}{1}=1\\\\\\\arg(\dfrac{z_1}{z_2})=\arg(z_1)-\arg(z_2)=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{12}\\\\\\\Longrightarrow\dfrac{z_1}{z_2}=1\times(\cos\dfrac{\pi}{12}+i\sin\dfrac{\pi}{12})\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\dfrac{z_1}{z_2}=\cos\dfrac{\pi}{12}+i\sin\dfrac{\pi}{12}}[/tex]
d) En identifiant les deux formes du quotient [tex]\dfrac{z_1}{z_2}[/tex], nous en déduisons que
[tex]\boxed{\left\{\begin{matrix}\cos\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\\\\\sin\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \end{matrix}\right.}[/tex]
[tex]2)\ z=\dfrac{1+i}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}+i\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\\a)\ |z|=\sqrt{(\dfrac{1}{\sqrt{2}})^2+(\dfrac{1}{\sqrt{2}})^2}=\sqrt{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}}=\sqrt{1}=1\Longrightarrow\boxed{|z|=1}\\\\\\Si\ \arg(z)=\theta,\ alors:\\\\\left\{\begin{matrix}\cos\theta=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{1}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\\\sin\theta=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{1}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\boxed{\theta=\dfrac{\pi}{4}+k.2\pi}[/tex]
D'où
[tex]z=1\times(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4})\\\\\boxed{z=\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}}[/tex]
[tex]b)\ z^{2013}=\cos\dfrac{2013\pi}{4}+i\sin\dfrac{2013\pi}{4}[/tex]
Or [tex]\dfrac{2013\pi}{4}=\dfrac{2016\pi}{4}-\dfrac{3\pi}{4}=504\pi-\dfrac{3\pi}{4}=252\times2\pi-\dfrac{3\pi}{4}[/tex]
Donc
[tex]z^{2013}=\cos(-\dfrac{3\pi}{4})+i\sin(-\dfrac{3\pi}{4})\\\\\\\boxed{z^{2013}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}}}[/tex]
[tex]c)\ \arg(z^n})=\dfrac{n\pi}{4}[/tex]
[tex]z^n[/tex] est un imaginaire pur si [tex]\dfrac{n\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}+k\pi[/tex]
Or
[tex]\dfrac{n\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\Longleftrightarrow\dfrac{n\pi}{4}=\dfrac{2\pi}{4}+\dfrac{4k\pi}{4}\Longleftrightarrow n\pi=2\pi+4k\pi\\\\\Longleftrightarrow n\pi=(2+4k)\pi\\\\\Longleftrightarrow n=2+4k\ \ (k\in\mathbb{Z})[/tex]
Puisque n est un nombre naturel, la plus petite valeur de n pour que [tex]z^n[/tex] soit un imaginaire pur est donnée par k=0.
Par conséquent, la plus petite valeur de n est n = 2.
Merci d'avoir visité notre site Web, qui traite d'environ Mathématiques. Nous espérons que les informations partagées vous ont été utiles. N'hésitez pas à nous contacter pour toute question ou demande d'assistance. À bientôt, et pensez à ajouter ce site à vos favoris !