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résolu

Boujour,
J'ai un petit soucis dans les maths, avec les ln ... j'ai du mal !
L'exercice :

Dans un laboratoire, on teste l'efficacité d'un désinfectant. La quandtité de bactéries peut être modélisée par la fonction f définie sur [0,2;9] par f(t)=30-10ln (2t) où :
- t désigne le temps écoulé depuis l'application du désinfectant (exprimé en heures)
- f(t) désigne la quantité de bactéries en milliers au cm²

1) Montrer que pour tout t de [0,2;9] f(t)=30-ln2-10lnt.
2) a) Calculer f'(t) pour tout appartient [0,2;9].
b) Etudier le signe de f'(t) et en déduire les variations de f sur [0,2;9].

Merci d'avance

Répondre :

Bonjour ;

1) f(t) = 30 - 10 * Ln(2t) = 30 - 10 * (Ln(2) + Ln(t))
= 30 - 10 * Ln(2) - 10 * Ln(t) et non 30 - Ln(2) - 10 * Ln(t)

2)
a) f ' (t) = - 10/t .

b) On a : t > 0 donc 1/t > 0 donc - 10/t < 0 donc f ' (t) < 0 .

  t             0,2                                          9
-----------------------------------------------------------
f ' (t)                               -
-----------------------------------------------------------
               39,16
                             \
                                    \
f(t)                                      \
                                                   \
                                                          >
                                                                 1,03

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