Bonjour,
1) Ecrire les inéquations traduisant les contraintes de l'énoncé
Largeur de l'allée x doit être ≥ 0,8 m
=> x appartient à ]0,8 ; 12] (la limite étant le terrain lui même dont la largeur est 12 m)
Calcul de l'aire sans l'allée
(30 - x )(12 - x) = x² -30x -12x + (30×12) = x² - 42x + 360
D'où l'inéquation ............... x² - 42x + 368 ≥ 280
Aire ≥ 280
x² - 42x + 360 ≥ 280
x² - 42x + 360 - 280 ≥ 0
D'où l'inéquation ...............x² - 42x + 80 ≥ 0
2) Vérifier l'égalité x² - 42x + 80 = (x - 2)(x - 40)
x² - 42x + 80 = x² -40x -2x + 80
x² - 42x + 80 = x² -42x + 80
3) résoudre les inéquations de la question 1
x² - 42x + 80 ≥ 0
(Il y a deux méthodes soit par le discriminant ou la forme canonique)
Δ = b² - 4ac = 42² - 4×1×80 = 1444 = 38²
Δ = √1444 > 0
Comme Δ est plus grand que 0 alors il y a 2 solutions.
1) -b -√Δ
x₁ = -b - √Δ / 2a = 42 - 38 / 2 = 4/2 = 2
2) -b+√Δ
x₂ = -b + √Δ / 2a = 42 + 38 / 2 = 80 / 2 = 40
3) Donc les solutions pour x² - 42x + 80 ≥ 0 sont 2 et 40
D'après le contexte, on peut en conclure que la largeur de l'allée x sera comprise entre 0,8 m et 2 m.
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La forme canonique ce doit être un truc comme ça, j'ai essayé et comme je trouve pareil pour les valeurs possibles de x alors je te l'ajoute quand même, si ça peut t'aider :
x² - 42x + 80 = x² -2x fois 21 + 21² - 21² +80
= (x-21)² -441 + 80
= (x-21)² - 361 ou bien 361 = 19²
= (x-21)² - 19²
= (x-21-19) (x-21+19)
= (x-40)(x-2)
d'où 2 solutions :
x-40 = 0 ou x-2 = 0
x = 40 ou x = 2
