Bonjour ;
La courbe Cf ne coupe l'axe des abscisses qu'une seule fois ,
donc l'équation : f(x) = 0 n'admet qu'une seule solution ,
et puisque f est une fonction polynomiale de second degré, donc cette solution est une solution double , donc la fonction polynomiale en question est telle que pour tout x appartenant à R : f(x) = a(x-b)² .
f(x) = a(x-b)² donc f ' (x) = 2a(x-b) .
Soit y ,l'équation de la tangente à Cf au point d'abscisse 0 ,
donc elle vérifie l'équation : f ' (0) = (y-f(0))/(x-0) .
Comme f(0) = ab² et f ' (0) = -2ab , on a :
-2ab = (y-ab²)/x donc -2abx = y - ab² donc y = -2abx + ab² .
Et comme y = x + 1 , donc on a :
-2ab=1 et ab²=1
donc a=1/b² et -2 * 1/b² * b = -2/b = 1
donc b = -2 et a = 1/4 .
Conclusion :
f(x) = 1/4 (x+2)² = 1/4(x² + 4x + 4) = 1/4 x² + x + 1 .
