Bonjour
Yacine931
1) La droite (CD) est orthogonale à la droite (DA) car le triangle DAC est rectangle en D.
La droite (CD) est orthogonale à la droite (DB) car le triangle DBC est rectangle en D.
Puisque (CD) est orthogonale aux deux droites sécantes (DA) et (DB) du plan ABD, nous en déduisons que la droite (CD) est orthogonale au plan (ABD).
Or la droite (AB) est incluse dans ce plan (ABD).
Par conséquent, les droites (CD) et (AB) sont orthogonales.
2) Les droites (CD) et (AB) sont orthogonales (voir question précédente).
La droite (DH) est orthogonale au plan (ABC) ==> la droite (DH) est orthogonale à la droite (AB) de ce plan (ABC).
Puisque (AB) est orthogonale à deux droites sécantes (CD) et (DH) du plan (DCH), on en déduit que la droite (AB) est orthogonale au plan (DCH).
3) La droite (AB) étant orthogonale au plan (DCH), nous déduisons que la droite (AB) est orthogonale à la droite (CH) de ce plan (DCH).
Par conséquent, puisque (AB) et (CH) sont orthogonales, la droite (CH) est une hauteur du triangle ABC.
4) Par une démonstration analogue, nous montrerions que les droites (AD) et (CB) sont orthogonales et que le plan (ADH) est orthogonal à la droite (CB).
Nous en déduisons donc que (AH) est également une hauteur du triangle ABC.
Puisque H est l'intersection de deux hauteurs du triangle ABC, le point H appartiendra également à la troisième hauteur.
Par conséquent,
le point H est l'orthocentre du triangle ABC.
