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résolu

Bonjour, j'ai un exercice sur les complexes qui me pose problème:

A tout nombre complexe z, on associe le nombre Z= (z-1+2i)/(z-i) où z différent de i

1) Calculer Z pour z1= 1 et z2= 1-i
Celle ci j'ai réussi et j'ai trouvé Z=-1+i et Z=-2/5+1/5i

2)On pose z=x+iy et Z=X+iY (x;y;X;Y réels)

a) Calculer X et Y en fonction de x et y

Alors ici, j'ai remplacé z par son affixe mais impossible de me débarrasser des i au dénominateur, je n'arrive pas à trouver même avec les conjugués comment obtenir la forme X+iY

b)Déterminer l'ensemble E des points M d'affixes z tels que Z soit un réel (ici je ne sais pas comment procéder)

c) Déterminer l'ensemble F des points M d'affixes z tels que Z soit un imaginaire pur

d) Représenter les ensembles E et F dans le plan complexe rapporté au repère ortho orthonormal direct (O,u,v)

3) Retrouver les résultats précédents en utilisant des propriétés des nombres complexes conjugués.


Voilà j'ai vraiment besoin d'aide pour au moins la deuxième question de façon à ce que je puisse avancé. Merci à ceux qui pourrons m'aider
Bonne journée

Répondre :

SCOLADANVIZ
Bonjour,

Z = (z - 1 + 2i)/(z - i)    avec z≠i

1)

z₁ = 1
⇒ Z₁ = 2i/(1 - i)
= 2i(1 + i)/(1 - i)(1 + i)
= 2i(1 + i)/2
= -1 + i

z₂ = 1 - i
⇒ Z₂ = i/(1 - 2i)
= i(1 + 2i)/5
= -2/5 + i/5

2) z = x + iy

a) Z = (x + iy - 1 + 2i)/(x + iy - i)

= [(x-1) + i(y+2)][x - i(y-1)]/[x + i(y-1)][x - i(y-1)]

⇒

X = [x(x-1) + (y-1)(y+2)]/[x² + (y-1)²]

et

Y = [x(y+2) - (x-1)(y-1)]/[x² + (y-1)²]

b) Z réel ⇒ Y = 0

⇔ x(y+2) - (x-1)(y-1) = 0

⇔ xy + 2x - (xy - x - y + 1) = 0

⇔ 3x + y - 1 = 0 

⇒ (E) = Droite d'équation y = -3x + 1

c) Z imaginaire pur ⇒ X = 0

⇔ x(x-1) + (y-1)(y+2) = 0

⇔ x² - x + y² + y - 2 = 0

⇔ (x - 1/2)² - 1/4 + (y + 1/2)² - 1/4 - 2 = 0

⇔ (x - 1/2)² + (y + 1/2)² = 5/2

⇒ (F) cercle de centre I(1/2;-1/2) et de rayon √(5/2)


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