Bonjour
Hundred
1) x² + y² + 2x - 6y + 5 = 0
x² + 2x + y² - 6y + 5 = 0
(x² + 2x +1) -1 + (y² - 6y + 9) - 9 + 5 = 0
(x + 1)² - 1 + (y − 3)² - 9 + 5 = 0
(x + 1)² + (y - 3)² - 5 = 0
(x + 1)² + (y - 3)² = 5
Cette équation est l'équation d'un cercle de centre I(-1; 3) et de rayon [tex]\sqrt{5}[/tex] .
2) Points d’intersection du cercle C et de l’axe (Oy).
Dans l'équation du cercle, remplaçons x par 0.
(0 + 1)² + (y - 3)² = 5
1 + (y - 3)² = 5
(y - 3)² = 4
y - 3 = 2 ou y - 3 = -2
y = 2 + 3 ou y = -2 + 3
y = 5 ou y = 1
Par conséquent,
les points d'intersection du cercle C avec l’axe des ordonnées sont A(0 ; 1) et B(0 ; 5).
Points d’intersection du cercle C et de l’axe (Ox).
Dans l'équation du cercle, remplaçons y par 0.
(x + 1)² + (0 - 3)² = 5
(x + 1)² + 9 = 5
(x + 1)² = 5 - 9
(x + 1)² = -4
Impossible car un carré n'est jamais négatif.
Par conséquent,
le cercle C ne coupe pas l’axe des abscisses.
3. Déterminer une équation cartésienne de la tangente T au cercle C en A.
Exprimons que la tangente T est perpendiculaire au rayon du cercle passant par A, soit au rayon [IA]
Soit M(x ; y) un point quelconque de la tangente T.
Alors
[tex]\overrightarrow{AM}:\ (x_M-x_A;y_M-y_A)=(x-0;y-1)=(x;y-1)\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AM}:(x;y-1)}\\\\\overrightarrow{IA}:\ (x_A-x_I;y_A-y_I)=(0-(-1);1-3)=(1;-2)\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{IA}:(1;-2)}[/tex]
D'où
[tex]\overrightarrow{AM}\perp\overrightarrow{IA}\\\\\Longleftrightarrow\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{IA}=0\\\\\Longleftrightarrow x_{\overrightarrow{AM}}\times x_{\overrightarrow{IA}}+y_{\overrightarrow{AM}}\times y_{\overrightarrow{IA}}=0\\\\\Longleftrightarrow x\times1+(y-1)\times(-2)=0\\\\\Longleftrightarrow\boxed{x-2y+2=0}[/tex]
Par conséquent,
une équation cartésienne de la tangente T est x - 2y + 2 = 0.
