Bonjour
Wendy14
[tex]1)\ z_{A'}=\dfrac{1}{2}(z_A+\dfrac{1}{z_A})\\\\z_{A'}=\dfrac{1}{2}(i+\dfrac{1}{i})\\\\z_{A'}=\dfrac{1}{2}(i-i)\\\\\boxed{z_{A'}=0}[/tex]
[tex]z_{B'}=\dfrac{1}{2}(z_B+\dfrac{1}{z_B})\\\\z_{B'}=\dfrac{1}{2}(1+i+\dfrac{1}{1+i})\\\\z_{B'}=\dfrac{1}{2}(1+i+\dfrac{1-i}{1^2+1^2})\\\\z_{B'}=\dfrac{1}{2}(1+i+\dfrac{1-i}{2})\\\\z_{B'}=\dfrac{1}{2}(1+i+\dfrac{1}{2}-\dfrac{i}{2})\\\\z_{B'}=\dfrac{1}{2}(\dfrac{3}{2}+\dfrac{i}{2})\\\\\\\boxed{z_{B'}=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}i}[/tex]
2) Il faut résoudre l'équation suivante :
[tex]\dfrac{1}{2}(z+\dfrac{1}{z})=\dfrac{1}{2}\\\\z+\dfrac{1}{z}=1\\\\\dfrac{z^2+1}{z}=1\\\\z^2+1=z\\\\z^2-z+1=0\\\\\Delta=(-1)^2-4\times1\times1=1-4=-3\\\\z_1=\dfrac{1-i\sqrt{3}}{2}=\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}=e^{i\frac{\pi}{3}}\\\\z_2=\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}=e^{-i\frac{\pi}{3}}[/tex]
3) a) Lorsque θ décrit ]-π ; π], M parcourt un cercle de centre O et de rayon 1.
[tex]b)\ z'=\dfrac{1}{2}[e^{i\theta}+\dfrac{1}{e^{i\theta}}]\\\\z'=\dfrac{1}{2}[e^{i\theta}+e^{-i\theta}}]\\\\z'=\dfrac{1}{2}[\cos(\theta)+i\sin(\theta)+\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)]\\\\z'=\dfrac{1}{2}[\cos(\theta)+i\sin(\theta)+\cos(\theta)-i\sin(\theta)]\\\\z'=\dfrac{1}{2}\times[2\cos(\theta)]\\\\\boxed{z'=\cos(\theta)}[/tex]
c) Lorsque θ décrit ]-π ; π], M' parcourt l'intervalle ]-1 ; 1].
4) a) M' représente le milieu du segment [MN].
[tex]b)\ |z_N|=\dfrac{1}{r}\\\\\arg(z_N)=-\theta+k2\pi\ \ (k\in\mathbb{Z})[/tex]
c) Voir pièce jointe.
Construction de l'argument [tex]-\theta[/tex] en rouge
Construction de [tex]ON=\dfrac{1}{r}[/tex] en noir.
r = OM = OD
Tracer (JD) ou J est le point (0;1)
Par le point K(1 ;0), tracer une droite parallèle à (JD) qui coupe l'axe des ordonnées en un point L(0 ; 1/r)
Reporter la valeur 1/r sur la droite OI par le cercle de centre O et de rayon OL, ce qui nous donne le point N.
Construction de M' milieu de [MN] en bleu.
