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Bonjour,
Pourriez-vous, s'il-vous plaît, m'aider pour cet exercice sur les complexes ?
J'ai réussi la première question, ainsi que la 2a) pour les points À et B ...
Merci d'avance à ceux qui se pencheront sur mon devoir

Bonne fin de journée


Bonjour Pourriezvous Silvous Plaît Maider Pour Cet Exercice Sur Les Complexes Jai Réussi La Première Question Ainsi Que La 2a Pour Les Points À Et B Merci Davan class=

Répondre :

Bonjour  Enileme 

1) Résoudre [tex]z^2-2\sqrt{3}z+4=0[/tex]

[tex]\Delta=(-2\sqrt{3})^2-4\times1\times4=12-16=4\ \textless \ 0\\\\z_1=\dfrac{2\sqrt{3}-2i}{2}=\dfrac{2(\sqrt{3}-i)}{2}=\sqrt{3}-i\\\\z_2=\dfrac{2\sqrt{3}+2i}{2}=\dfrac{2(\sqrt{3}+i)}{2}=\sqrt{3}+i[/tex]

Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'équation est  [tex]\boxed{S=\{\sqrt{3}-i;\sqrt{3}+i\}}[/tex]


[tex]2)a)\ a=\sqrt{3}-i=re^{i\theta}\\\\r=|a|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2\\\\\left\{\begin{matrix}\cos\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\\\sin\theta=-\dfrac{1}{2} \end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\theta=-\dfrac{\pi}{6}\ [2\pi]\\\\\\\Longrightarrow\boxed{a=2e^{-i\frac{\pi}{6}}}[/tex]

[tex]b=\sqrt{3}+i=re^{i\theta}\\\\r=|a|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2\\\\\left\{\begin{matrix}\cos\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\\\sin\theta=\dfrac{1}{2} \end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\theta=\dfrac{\pi}{6}\ [2\pi]\\\\\\\Longrightarrow\boxed{b=2e^{i\frac{\pi}{6}}}[/tex]

[tex]\boxed{c=e^{i\frac{\pi}{6}}}[/tex]

b) Figure en pièce jointe.

[tex]c)\ (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})=\arg(\dfrac{b}{a})=\arg(\dfrac{2e^{i\frac{\pi}{6}}}{2e^{-i\frac{\pi}{6}}})\\\\=\arg[e^{(i\frac{\pi}{6}+i\frac{\pi}{6})}]=\arg[e^{i\frac{\pi}{3}}]=\dfrac{\pi}{3}}[2\pi]\\\\\Longrightarrow\boxed{(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})=\dfrac{\pi}{3}[2\pi]}[/tex]

De plus, 
[tex]OA=OB=2[/tex]

D'où le triangle OAB est isocèle en O et tel que [tex](\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})=\dfrac{\pi}{3}[/tex]

Par conséquent, le triangle OAB est équilatéral.

3) a) voir pièce jointe.

b) Le triangle OCD est isocèle en O ==> OC = OD = 1 ===> [tex]\boxed{|d|=1}[/tex]

[tex]\arg(d)=\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{3\pi}{6}=-\dfrac{2\pi}{6}=-\dfrac{\pi}{3}\Longrightarrow\boxed{\arg(d)=-\dfrac{\pi}{3}}[/tex]

D'où  [tex]\boxed{d=e^{-i\frac{\pi}{3}}}[/tex]

Forme algébrique de d :

[tex]d=e^{-i\frac{\pi}{3}}}=\cos(-\dfrac{\pi}{3})+i\sin(-\dfrac{\pi}{3})=\cos\dfrac{\pi}{3}-i\sin\dfrac{\pi}{3}\\\\\Longrightarrow\boxed{d=\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}}[/tex]

Affixe e du point E :

[tex]e-b=d-a\Longrightarrow e-(\sqrt{3}+i)=(\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2})-(\sqrt{3}-i)\\\\\Longrightarrow e-\sqrt{3}-i=\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}+i\\\\\Longrightarrow e=\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}+i+\sqrt{3}+i\\\\\Longrightarrow e=\dfrac{1}{2}+2i-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\\\Longrightarrow e=\dfrac{1}{2}+(2-\dfrac{\sqrt{3}}{2})i\\\\\Longrightarrow\boxed{e=\dfrac{1}{2}+(\dfrac{4-\sqrt{3}}{2})i}[/tex]

[tex]c)\ e=\dfrac{1}{2}+(\dfrac{4-\sqrt{3}}{2})i\Longrightarrow OE=|e|=\sqrt{(\dfrac{1}{2})^2+(\dfrac{4-\sqrt{3}}{2})^2}\\\\\\OE=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{(4-\sqrt{3})^2}{4}}=\sqrt{\dfrac{1+16-8\sqrt{3}+3}{4}}=\sqrt{\dfrac{20-8\sqrt{3}}{4}}\\\\\\\boxed{OE=\sqrt{5-2\sqrt{3}}}[/tex]

[tex]BE=|e-b|=|[\dfrac{1}{2}+(\dfrac{4-\sqrt{3}}{2})i]-(\sqrt{3}+i)|\\\\BE=|[(\dfrac{1}{2}-\sqrt{3})+(\dfrac{4-\sqrt{3}}{2}-1)i]|=|[(\dfrac{1}{2}-\sqrt{3})+(\dfrac{4-\sqrt{3}-2}{2})i]|\\\\BE=|[(\dfrac{1}{2}-\sqrt{3})+(\dfrac{2-\sqrt{3}}{2})i]|\\\\\Longrightarrow BE=\sqrt{(\dfrac{1}{2}-\sqrt{3})^2+(\dfrac{2-\sqrt{3}}{2})^2}\\\\\Longrightarrow BE=\sqrt{(\dfrac{1}{4}-\sqrt{3}+3)+(\dfrac{4-4\sqrt{3}+3}{4})}\\\\\Longrightarrow BE=\sqrt{\dfrac{1-4\sqrt{3}+12+4-4\sqrt{3}+3}{4}}[/tex]

[tex]\\\\\Longrightarrow BE=\sqrt{\dfrac{20-8\sqrt{3}}{4}}\\\\\Longrightarrow\boxed{BE=\sqrt{5-2\sqrt{3}}}[/tex]

Par conséquent, 

[tex]\boxed{OE=BE=\sqrt{5-2\sqrt{3}}}[/tex]

Question supplémentaire :

Montrer que les points A, C et E sont alignés.

Il suffit de montrer que [tex]\boxed{\dfrac{a-e}{a-c}\in\mathbb{R}}[/tex]

[tex]\dfrac{a-e}{a-c}=\dfrac{[\sqrt{3}-i]-[\dfrac{1}{2}+(\dfrac{4-\sqrt{3}}{2})i]}{(\sqrt{3}-i)- (\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i)}\\\\\\\dfrac{a-e}{a-c}=\dfrac{2\sqrt{3}-2i-1-4i+\sqrt{3}i}{2\sqrt{3}-2i-\sqrt{3}-i}\\\\\\\dfrac{a-e}{a-c}=\dfrac{(2\sqrt{3}-1)-(6-\sqrt{3})i}{\sqrt{3}-3i}\\\\\\\dfrac{a-e}{a-c}=\dfrac{[(2\sqrt{3}-1)-(6-\sqrt{3})i](\sqrt{3}+3i)}{(\sqrt{3}-3i)(\sqrt{3}+3i)}\\\\\\=\dfrac{(2\sqrt{3}-1)\sqrt{3}+(2\sqrt{3}-1)3i-(6-\sqrt{3})\sqrt{3}i+3(6-\sqrt{3})}{(\sqrt{3})^2+9}[/tex]

[tex]\\\\\\=\dfrac{24-4\sqrt{3}}{3+9}=\dfrac{4(6-\sqrt{3})}{12}=\dfrac{6-\sqrt{3}}{3}[/tex]

D'où 

[tex]\boxed{\dfrac{a-e}{a-c}=\dfrac{6-\sqrt{3}}{3}\in\mathbb{R}}[/tex]

Par conséquent, les points A, C et E sont alignés.
Voir l'image АНОНИМ
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