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Bonjour Enileme
1) Résoudre [tex]z^2-2\sqrt{3}z+4=0[/tex]
[tex]\Delta=(-2\sqrt{3})^2-4\times1\times4=12-16=4\ \textless \ 0\\\\z_1=\dfrac{2\sqrt{3}-2i}{2}=\dfrac{2(\sqrt{3}-i)}{2}=\sqrt{3}-i\\\\z_2=\dfrac{2\sqrt{3}+2i}{2}=\dfrac{2(\sqrt{3}+i)}{2}=\sqrt{3}+i[/tex]
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'équation est [tex]\boxed{S=\{\sqrt{3}-i;\sqrt{3}+i\}}[/tex]
[tex]2)a)\ a=\sqrt{3}-i=re^{i\theta}\\\\r=|a|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2\\\\\left\{\begin{matrix}\cos\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\\\sin\theta=-\dfrac{1}{2} \end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\theta=-\dfrac{\pi}{6}\ [2\pi]\\\\\\\Longrightarrow\boxed{a=2e^{-i\frac{\pi}{6}}}[/tex]
[tex]b=\sqrt{3}+i=re^{i\theta}\\\\r=|a|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2\\\\\left\{\begin{matrix}\cos\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\\\sin\theta=\dfrac{1}{2} \end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\theta=\dfrac{\pi}{6}\ [2\pi]\\\\\\\Longrightarrow\boxed{b=2e^{i\frac{\pi}{6}}}[/tex]
[tex]\boxed{c=e^{i\frac{\pi}{6}}}[/tex]
b) Figure en pièce jointe.
[tex]c)\ (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})=\arg(\dfrac{b}{a})=\arg(\dfrac{2e^{i\frac{\pi}{6}}}{2e^{-i\frac{\pi}{6}}})\\\\=\arg[e^{(i\frac{\pi}{6}+i\frac{\pi}{6})}]=\arg[e^{i\frac{\pi}{3}}]=\dfrac{\pi}{3}}[2\pi]\\\\\Longrightarrow\boxed{(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})=\dfrac{\pi}{3}[2\pi]}[/tex]
De plus, [tex]OA=OB=2[/tex]
D'où le triangle OAB est isocèle en O et tel que [tex](\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})=\dfrac{\pi}{3}[/tex]
Par conséquent, le triangle OAB est équilatéral.
3) a) voir pièce jointe.
b) Le triangle OCD est isocèle en O ==> OC = OD = 1 ===> [tex]\boxed{|d|=1}[/tex]
[tex]\arg(d)=\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{3\pi}{6}=-\dfrac{2\pi}{6}=-\dfrac{\pi}{3}\Longrightarrow\boxed{\arg(d)=-\dfrac{\pi}{3}}[/tex]
D'où [tex]\boxed{d=e^{-i\frac{\pi}{3}}}[/tex]
Forme algébrique de d :
[tex]d=e^{-i\frac{\pi}{3}}}=\cos(-\dfrac{\pi}{3})+i\sin(-\dfrac{\pi}{3})=\cos\dfrac{\pi}{3}-i\sin\dfrac{\pi}{3}\\\\\Longrightarrow\boxed{d=\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}}[/tex]
Affixe e du point E :
[tex]e-b=d-a\Longrightarrow e-(\sqrt{3}+i)=(\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2})-(\sqrt{3}-i)\\\\\Longrightarrow e-\sqrt{3}-i=\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}+i\\\\\Longrightarrow e=\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}+i+\sqrt{3}+i\\\\\Longrightarrow e=\dfrac{1}{2}+2i-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\\\Longrightarrow e=\dfrac{1}{2}+(2-\dfrac{\sqrt{3}}{2})i\\\\\Longrightarrow\boxed{e=\dfrac{1}{2}+(\dfrac{4-\sqrt{3}}{2})i}[/tex]
[tex]c)\ e=\dfrac{1}{2}+(\dfrac{4-\sqrt{3}}{2})i\Longrightarrow OE=|e|=\sqrt{(\dfrac{1}{2})^2+(\dfrac{4-\sqrt{3}}{2})^2}\\\\\\OE=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{(4-\sqrt{3})^2}{4}}=\sqrt{\dfrac{1+16-8\sqrt{3}+3}{4}}=\sqrt{\dfrac{20-8\sqrt{3}}{4}}\\\\\\\boxed{OE=\sqrt{5-2\sqrt{3}}}[/tex]
[tex]BE=|e-b|=|[\dfrac{1}{2}+(\dfrac{4-\sqrt{3}}{2})i]-(\sqrt{3}+i)|\\\\BE=|[(\dfrac{1}{2}-\sqrt{3})+(\dfrac{4-\sqrt{3}}{2}-1)i]|=|[(\dfrac{1}{2}-\sqrt{3})+(\dfrac{4-\sqrt{3}-2}{2})i]|\\\\BE=|[(\dfrac{1}{2}-\sqrt{3})+(\dfrac{2-\sqrt{3}}{2})i]|\\\\\Longrightarrow BE=\sqrt{(\dfrac{1}{2}-\sqrt{3})^2+(\dfrac{2-\sqrt{3}}{2})^2}\\\\\Longrightarrow BE=\sqrt{(\dfrac{1}{4}-\sqrt{3}+3)+(\dfrac{4-4\sqrt{3}+3}{4})}\\\\\Longrightarrow BE=\sqrt{\dfrac{1-4\sqrt{3}+12+4-4\sqrt{3}+3}{4}}[/tex]
[tex]\\\\\Longrightarrow BE=\sqrt{\dfrac{20-8\sqrt{3}}{4}}\\\\\Longrightarrow\boxed{BE=\sqrt{5-2\sqrt{3}}}[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{OE=BE=\sqrt{5-2\sqrt{3}}}[/tex]
Question supplémentaire :
Montrer que les points A, C et E sont alignés.
Il suffit de montrer que [tex]\boxed{\dfrac{a-e}{a-c}\in\mathbb{R}}[/tex]
[tex]\dfrac{a-e}{a-c}=\dfrac{[\sqrt{3}-i]-[\dfrac{1}{2}+(\dfrac{4-\sqrt{3}}{2})i]}{(\sqrt{3}-i)- (\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i)}\\\\\\\dfrac{a-e}{a-c}=\dfrac{2\sqrt{3}-2i-1-4i+\sqrt{3}i}{2\sqrt{3}-2i-\sqrt{3}-i}\\\\\\\dfrac{a-e}{a-c}=\dfrac{(2\sqrt{3}-1)-(6-\sqrt{3})i}{\sqrt{3}-3i}\\\\\\\dfrac{a-e}{a-c}=\dfrac{[(2\sqrt{3}-1)-(6-\sqrt{3})i](\sqrt{3}+3i)}{(\sqrt{3}-3i)(\sqrt{3}+3i)}\\\\\\=\dfrac{(2\sqrt{3}-1)\sqrt{3}+(2\sqrt{3}-1)3i-(6-\sqrt{3})\sqrt{3}i+3(6-\sqrt{3})}{(\sqrt{3})^2+9}[/tex]
[tex]\\\\\\=\dfrac{24-4\sqrt{3}}{3+9}=\dfrac{4(6-\sqrt{3})}{12}=\dfrac{6-\sqrt{3}}{3}[/tex]
D'où
[tex]\boxed{\dfrac{a-e}{a-c}=\dfrac{6-\sqrt{3}}{3}\in\mathbb{R}}[/tex]
Par conséquent, les points A, C et E sont alignés.
1) Résoudre [tex]z^2-2\sqrt{3}z+4=0[/tex]
[tex]\Delta=(-2\sqrt{3})^2-4\times1\times4=12-16=4\ \textless \ 0\\\\z_1=\dfrac{2\sqrt{3}-2i}{2}=\dfrac{2(\sqrt{3}-i)}{2}=\sqrt{3}-i\\\\z_2=\dfrac{2\sqrt{3}+2i}{2}=\dfrac{2(\sqrt{3}+i)}{2}=\sqrt{3}+i[/tex]
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'équation est [tex]\boxed{S=\{\sqrt{3}-i;\sqrt{3}+i\}}[/tex]
[tex]2)a)\ a=\sqrt{3}-i=re^{i\theta}\\\\r=|a|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2\\\\\left\{\begin{matrix}\cos\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\\\sin\theta=-\dfrac{1}{2} \end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\theta=-\dfrac{\pi}{6}\ [2\pi]\\\\\\\Longrightarrow\boxed{a=2e^{-i\frac{\pi}{6}}}[/tex]
[tex]b=\sqrt{3}+i=re^{i\theta}\\\\r=|a|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2\\\\\left\{\begin{matrix}\cos\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\\\sin\theta=\dfrac{1}{2} \end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\theta=\dfrac{\pi}{6}\ [2\pi]\\\\\\\Longrightarrow\boxed{b=2e^{i\frac{\pi}{6}}}[/tex]
[tex]\boxed{c=e^{i\frac{\pi}{6}}}[/tex]
b) Figure en pièce jointe.
[tex]c)\ (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})=\arg(\dfrac{b}{a})=\arg(\dfrac{2e^{i\frac{\pi}{6}}}{2e^{-i\frac{\pi}{6}}})\\\\=\arg[e^{(i\frac{\pi}{6}+i\frac{\pi}{6})}]=\arg[e^{i\frac{\pi}{3}}]=\dfrac{\pi}{3}}[2\pi]\\\\\Longrightarrow\boxed{(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})=\dfrac{\pi}{3}[2\pi]}[/tex]
De plus, [tex]OA=OB=2[/tex]
D'où le triangle OAB est isocèle en O et tel que [tex](\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})=\dfrac{\pi}{3}[/tex]
Par conséquent, le triangle OAB est équilatéral.
3) a) voir pièce jointe.
b) Le triangle OCD est isocèle en O ==> OC = OD = 1 ===> [tex]\boxed{|d|=1}[/tex]
[tex]\arg(d)=\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{3\pi}{6}=-\dfrac{2\pi}{6}=-\dfrac{\pi}{3}\Longrightarrow\boxed{\arg(d)=-\dfrac{\pi}{3}}[/tex]
D'où [tex]\boxed{d=e^{-i\frac{\pi}{3}}}[/tex]
Forme algébrique de d :
[tex]d=e^{-i\frac{\pi}{3}}}=\cos(-\dfrac{\pi}{3})+i\sin(-\dfrac{\pi}{3})=\cos\dfrac{\pi}{3}-i\sin\dfrac{\pi}{3}\\\\\Longrightarrow\boxed{d=\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}}[/tex]
Affixe e du point E :
[tex]e-b=d-a\Longrightarrow e-(\sqrt{3}+i)=(\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2})-(\sqrt{3}-i)\\\\\Longrightarrow e-\sqrt{3}-i=\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}+i\\\\\Longrightarrow e=\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}+i+\sqrt{3}+i\\\\\Longrightarrow e=\dfrac{1}{2}+2i-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\\\Longrightarrow e=\dfrac{1}{2}+(2-\dfrac{\sqrt{3}}{2})i\\\\\Longrightarrow\boxed{e=\dfrac{1}{2}+(\dfrac{4-\sqrt{3}}{2})i}[/tex]
[tex]c)\ e=\dfrac{1}{2}+(\dfrac{4-\sqrt{3}}{2})i\Longrightarrow OE=|e|=\sqrt{(\dfrac{1}{2})^2+(\dfrac{4-\sqrt{3}}{2})^2}\\\\\\OE=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{(4-\sqrt{3})^2}{4}}=\sqrt{\dfrac{1+16-8\sqrt{3}+3}{4}}=\sqrt{\dfrac{20-8\sqrt{3}}{4}}\\\\\\\boxed{OE=\sqrt{5-2\sqrt{3}}}[/tex]
[tex]BE=|e-b|=|[\dfrac{1}{2}+(\dfrac{4-\sqrt{3}}{2})i]-(\sqrt{3}+i)|\\\\BE=|[(\dfrac{1}{2}-\sqrt{3})+(\dfrac{4-\sqrt{3}}{2}-1)i]|=|[(\dfrac{1}{2}-\sqrt{3})+(\dfrac{4-\sqrt{3}-2}{2})i]|\\\\BE=|[(\dfrac{1}{2}-\sqrt{3})+(\dfrac{2-\sqrt{3}}{2})i]|\\\\\Longrightarrow BE=\sqrt{(\dfrac{1}{2}-\sqrt{3})^2+(\dfrac{2-\sqrt{3}}{2})^2}\\\\\Longrightarrow BE=\sqrt{(\dfrac{1}{4}-\sqrt{3}+3)+(\dfrac{4-4\sqrt{3}+3}{4})}\\\\\Longrightarrow BE=\sqrt{\dfrac{1-4\sqrt{3}+12+4-4\sqrt{3}+3}{4}}[/tex]
[tex]\\\\\Longrightarrow BE=\sqrt{\dfrac{20-8\sqrt{3}}{4}}\\\\\Longrightarrow\boxed{BE=\sqrt{5-2\sqrt{3}}}[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{OE=BE=\sqrt{5-2\sqrt{3}}}[/tex]
Question supplémentaire :
Montrer que les points A, C et E sont alignés.
Il suffit de montrer que [tex]\boxed{\dfrac{a-e}{a-c}\in\mathbb{R}}[/tex]
[tex]\dfrac{a-e}{a-c}=\dfrac{[\sqrt{3}-i]-[\dfrac{1}{2}+(\dfrac{4-\sqrt{3}}{2})i]}{(\sqrt{3}-i)- (\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i)}\\\\\\\dfrac{a-e}{a-c}=\dfrac{2\sqrt{3}-2i-1-4i+\sqrt{3}i}{2\sqrt{3}-2i-\sqrt{3}-i}\\\\\\\dfrac{a-e}{a-c}=\dfrac{(2\sqrt{3}-1)-(6-\sqrt{3})i}{\sqrt{3}-3i}\\\\\\\dfrac{a-e}{a-c}=\dfrac{[(2\sqrt{3}-1)-(6-\sqrt{3})i](\sqrt{3}+3i)}{(\sqrt{3}-3i)(\sqrt{3}+3i)}\\\\\\=\dfrac{(2\sqrt{3}-1)\sqrt{3}+(2\sqrt{3}-1)3i-(6-\sqrt{3})\sqrt{3}i+3(6-\sqrt{3})}{(\sqrt{3})^2+9}[/tex]
[tex]\\\\\\=\dfrac{24-4\sqrt{3}}{3+9}=\dfrac{4(6-\sqrt{3})}{12}=\dfrac{6-\sqrt{3}}{3}[/tex]
D'où
[tex]\boxed{\dfrac{a-e}{a-c}=\dfrac{6-\sqrt{3}}{3}\in\mathbb{R}}[/tex]
Par conséquent, les points A, C et E sont alignés.
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