Bonjour
Madamelamava
1) Figure en pièce jointe.
[tex]2)\ a)\ \overrightarrow{D'A'}=\overrightarrow{D'A}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA'}\\\\\overrightarrow{D'A'}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AB}\\\\\overrightarrow{D'A'}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DC}\\\\\overrightarrow{D'A'}=\overrightarrow{CB'}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{C'D}\\\\\overrightarrow{D'A'}=\overrightarrow{C'D}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB'}\\\\\boxed{\\\\\overrightarrow{D'A'}=\overrightarrow{C'B'}}[/tex]
b) Nous déduisons du a) que le quadrilatère A'B'C'D' est un parallélogramme.
3) a) Voir pièce jointe.
b) D'une part, nous avons :
[tex]\overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{A'B}+\overrightarrow{BB'}\Longrightarrow A'B'^2=\overrightarrow{A'B'}^2=(\overrightarrow{A'B}+\overrightarrow{BB'})^2\\\\\Longrightarrow\boxed{A'B'^2=(\overrightarrow{A'B}+\overrightarrow{BB'})^2}[/tex]
D'autre part, nous avons :
[tex](\overrightarrow{A'B}+\overrightarrow{BB'})^2=\overrightarrow{A'B}^2+2\times\overrightarrow{A'B}.\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{BB'}^2\\\\(\overrightarrow{A'B}+\overrightarrow{BB'})^2=AB^2+BB'^2+2\times\overrightarrow{A'B}.\overrightarrow{BB'}\\\\(\overrightarrow{A'B}+\overrightarrow{BB'})^2=1^2+(2x)^2+2\times A'B\times BB'\times\cos(\overrightarrow{A'B},\overrightarrow{BB'})[/tex]
[tex]\\\\(\overrightarrow{A'B}+\overrightarrow{BB'})^2=1+4x^2+2\times1\times2x\times\cos(\pi-\alpha)\\\\(\overrightarrow{A'B}+\overrightarrow{BB'})^2=1+4x^2+4x\times\cos(\pi-\alpha)\\\\\boxed{(\overrightarrow{A'B}+\overrightarrow{BB'})^2=1+4x^2-4x\cos(\alpha)}\ \ \ car\ \ \cos(\pi-\alpha)=-\cos(\alpha)[/tex]
Par conséquent, [tex]\boxed{A'B'^2=(\overrightarrow{A'B}+\overrightarrow{BB'})^2=1+4x^2-4x\cos(\alpha)}[/tex]
c) De la même manière, nous avons :
[tex]\overrightarrow{B'C'}=\overrightarrow{B'C}+\overrightarrow{CC'}\Longrightarrow B'C'^2=\overrightarrow{B'C'}^2=(\overrightarrow{B'C}+\overrightarrow{CC'})^2\\\\\Longrightarrow\boxed{B'C'^2=(\overrightarrow{B'C}+\overrightarrow{CC'})^2}[/tex]
[tex](\overrightarrow{B'C}+\overrightarrow{CC'})^2=\overrightarrow{B'C}^2+2\times\overrightarrow{B'C}.\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{CC'}^2\\\\(\overrightarrow{B'C}+\overrightarrow{CC'})^2=B'C^2+CC'^2+2\times\overrightarrow{B'C}.\overrightarrow{CC'}\\\\(\overrightarrow{B'C}+\overrightarrow{CC'})^2=x^2+2^2+2\times B'C\times CC'\times\cos(\overrightarrow{B'C},\overrightarrow{CC'})[/tex]
[tex](\overrightarrow{B'C}+\overrightarrow{CC'})^2=x^2+4+2\times x\times2\times\cos(\alpha)\\\\\boxed{(\overrightarrow{B'C}+\overrightarrow{CC'})^2=x^2+4+4x\cos(\alpha)}[/tex]
d) Nous savons que A'B'C'D' est un parallélogramme.
Or un parallélogramme est un losange si et seulement si deux côtés consécutifs ont la même longueur.
D'où,
[tex]\boxed{A'B'C'D'\ est\ un\ parall\acute{e}logramme}\Longleftrightarrow A'B'=B'C'\\\\\Longleftrightarrow A'B'^2=B'C'^2\\\\\Longleftrightarrow1+4x^2-4x\cos(\alpha)=x^2+4+4x\cos(\alpha)\\\\\Longleftrightarrow1+4x^2-4x\cos(\alpha)-x^2-4-4x\cos(\alpha)=0\\\\\boxed{\Longleftrightarrow3x^2-8x\cos(\alpha)-3=0}[/tex]
[tex]e)\ \alpha=\dfrac{\pi}{4}\\\\3x^2-8x\cos(\dfrac{\pi}{4})-3=0\\\\3x^2-8x\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}-3=0\\\\3x^2-4\sqrt{2}x-3=0\\\\\Delta=(-4\sqrt{2})^2-4\times3\times(-3)=32+36=68\ \textgreater \ 0\\\\x_1=\dfrac{4\sqrt{2}-\sqrt{68}}{2\times3}=\dfrac{4\sqrt{2}-2\sqrt{17}}{2\times3}=\dfrac{2(2\sqrt{2}-\sqrt{17})}{2\times3}\\\\=\dfrac{2\sqrt{2}-\sqrt{17}}{3}\approx-0,43\\\\x_2=\dfrac{4\sqrt{2}-\sqrt{68}}{2\times3}=\dfrac{2\sqrt{2}-\sqrt{17}}{3}\approx2,317[/tex]
La valeur x=-0,43 est à rejeter car x est une longueur ==> x ne peut pas être négatif.
Par conséquent, [tex]\boxed{x=\dfrac{2\sqrt{2}-\sqrt{17}}{3}\approx2,317}[/tex]
La figure est en pièce jointe avec AB = 5 et BC = 5*2,317≈11,59
f) Il n'existe pas de valeur de α pour laquelle A'B'C'D' ne soit pas un losange car l'équation [tex]3x^2-8x\cos(\alpha)-3=0[/tex] admet toujours deux solutions réelles distinctes dont une est positive.
En effet
[tex]\Delta=(-8\cos(\alpha))^2-4\times3\times(-3)=64\cos^2(\alpha)+36[/tex]
Ce discriminant Δ ne sera jamais négatif car c'est une somme de deux carrés dont un est non nul.
D'où l'équation admettra deux solutions réelles.
De plus ces solutions sont de signes contraires car leur produit est égal à [c/a] = (-3)/3 = -1.
Si le produit des deux solutions est négatif, l'une d'elles est positive et l'autre est négative.
D'où la valeur de x existera toujours quelle que soit la valeur de α.
