Bonjour
Wendy14
Exercice 2
[tex]f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x^2}[/tex]
La droite [tex]T_a[/tex] sera parallèle à la droite D : y = x si son coefficient directeur est égal à celui de D
Or le coefficient directeur de D est égal à 1
D'où le coefficient directeur de la droite [tex]T_a[/tex] est égal à 1
Or le coefficient directeur de la droite tangente à la courbe Cf au point d'abscisse a est donné par f '(a).
Donc [tex]f'(a)=1[/tex]
Or
[tex]f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x^2}\Longrightarrow f'(x)=\dfrac{(\ln(x))'\times x^2-\ln(x)\times(x^2)'}{x^4}\\\\f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x^2-\ln(x)\times(2x)}{x^4}\\\\f'(x)=\dfrac{x-2x\ln(x)}{x^4}\\\\f'(x)=\dfrac{x(1-2\ln(x))}{x^4}\\\\f'(x)=\dfrac{1-2\ln(x)}{x^3}\\\\\Longrightarrow\boxed{f'(a)=\dfrac{1-2\ln(a)}{a^3}}[/tex]
Par conséquent,
[tex]f'(a)=1\Longleftrightarrow\dfrac{1-2\ln(a)}{a^3}=1\\\\f'(a)=1\Longleftrightarrow1-2\ln(a)=a^3\\\\f'(a)=1\Longleftrightarrow\boxed{a^3+2\ln(a)-1=0}[/tex]
La valeur de a est donc la solution de l'équation [tex]x^3+2\ln(x)-1=0[/tex] ou encore la racine de la fonction g définie sur ]0;+oo[ par [tex]g(x)=x^3+2\ln(x)-1[/tex]
Etudions les variations de g.
[tex]g(x)=x^3+2\ln(x)-1\\\\g'(x)=3x^2+2\times\dfrac{1}{x}\\\\g'(x)=3x^2+\dfrac{2}{x}\\\\g'(x)=\dfrac{3x^3+2}{x}\\\\x\ \textgreater \ 0\Longrightarrow\boxed{g'(x)\ \textgreater \ 0}[/tex]
Par conséquent, la fonction g est strictement croissante sur ]0 ; +oo[
Or
[tex]\lim\limits_{x\to0,x\ \textgreater \ 0}g(x)=\lim\limits_{x\to0,x\ \textgreater \ 0}[x^3+2\ln(x)-1]=[0-\infty-1]=-\infty\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to0,x\ \textgreater \ 0}g(x)=-\infty}\\\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}[x^3+2\ln(x)-1]=[+\infty+\infty-1]=+\infty\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty}[/tex]
Nous savons que la fonction g est continue et strictement décroissante sur ]0 ; +oo[.
[tex]\lim\limits_{x\to0,x\ \textgreater \ 0}g(x)=-\infty\ \ et\ \ \lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty[/tex]
D'où, selon le théorème des valeurs intermédiaires, nous en déduisons qu'il existe un seul réel a dans l'intervalle ]0 ; +oo[ tel que g(a) = 0.
Or [tex]g(1)=1^3+2\ln(1)-1=1+0-1=0\Longrightarrow\boxed{g(1)=0}[/tex]
Par conséquent, le seul réel a tel que g(a) = 0 est a = 1.
La droite [tex]T_a[/tex] sera parallèle à la droite D : y = x pour l'unique valeur a = 1.
