Bonjour Roroam9,
1) Arbre pondéré en pièce jointe.
[tex]p(X=1)=p(VV\ ou\ RR)=\dfrac{7}{10}\times\dfrac{7}{10}+\dfrac{3}{10}\times\dfrac{3}{10}=\dfrac{49}{100}+\dfrac{9}{100}\\\\\boxed{p(X=1)=\dfrac{58}{100}}[/tex]
2) a) Arbre pondéré en pièce jointe.
La variable aléatoire X peut prendre les valeurs 1 et 2.
[tex]p(X=1)=(\dfrac{7}{n})^2+(\dfrac{n-7}{n})^2=\dfrac{49}{n^2}+\dfrac{n^2-14n+49}{n^2}\\\\\boxed{p(X=1)=\dfrac{n^2-14n+98}{n^2}}\\\\p(X=2)=\dfrac{7}{n}\times\dfrac{n-7}{n}+\dfrac{7}{n}\times\dfrac{n-7}{n}=2\times\dfrac{7n-49}{n^2}\\\\\boxed{p(X=2)=\dfrac{14n-98}{n^2}}[/tex]
b) Espérance mathématique
[tex]E(X)=1\times\dfrac{n^2-14n+98}{n^2}+2\times\dfrac{14n-98}{n^2}\\\\E(X)=\dfrac{n^2-14n+98+28n-196}{n^2}\\\\\boxed{E(X)=\dfrac{n^2+14n-98}{n^2}}[/tex]
[tex]3)\ f(x)=\dfrac{x^2+14x-98}{x^2}\ \ (x\ \textgreater \ 0)[/tex]
a) Variations de f
[tex]f'(x)=\dfrac{(x^2+14x-98)'\times x^2-(x^2+14x-98)\times(x^2)'}{(x^2)^2}\\\\\\f'(x)=\dfrac{(2x+14)\times x^2-(x^2+14x-98)\times(2x)}{x^4}\\\\\\f'(x)=\dfrac{(2x+14)\times x-(x^2+14x-98)\times(2)}{x^3}\\\\\\f'(x)=\dfrac{2x^2+14x-2x^2-28x+196}{x^3}\\\\\\f'(x)=\dfrac{-14x+196}{x^3}\\\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{-14(x-14)}{x^3}}\\\\\\\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&14&&+\infty\\-14&&-&-&-&\\x-14&&-&0&+&\\x^3&&+&+&+&\\&&&&&\\f'(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\f(x)&&\nearrow&1,5&\searrow&\\ \end{array}[/tex]
La fonction f est croissante sur l'intervalle ]0 ; 14]
La fonction f est décroissante sur l'intervalle [14 ; +oo[
f possède un maximum égale à 1,5 pour x = 14.
b) On en déduit que l'espérance mathématique est maximale pour n = 14.
