Bonjour Noe972
1) Justification des formule données par le logiciel.
[tex]f'(x)=[(2x-2)\sqrt{x}]'\\\\f'(x)=(2x-2)'\sqrt{x}+(2x-2)(\sqrt{x})'\\\\f'(x)=2\sqrt{x}+(2x-2)\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\\\f'(x)=2\sqrt{x}+\dfrac{2(x-1)}{2\sqrt{x}}\\\\f'(x)=2\sqrt{x}+\dfrac{x-1}{\sqrt{x}}\\\\f'(x)=2\sqrt{x}+\dfrac{x}{\sqrt{x}}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\\\\f'(x)=2\sqrt{x}+\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\\\\\boxed{f'(x)=3\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}}[/tex]
[tex]g(x)=\dfrac{4x^2+5}{x-1}\\\\g'(x)=\dfrac{(4x^2+5)'(x-1)-(4x^2+5)(x-1)'}{(x-1)^2}\\\\g'(x)=\dfrac{8x(x-1)-(4x^2+5)\times1}{(x-1)^2}\\\\g'(x)=\dfrac{8x^2-8x-4x^2-5}{(x-1)^2}\\\\g'(x)=\dfrac{4x^2-8x-5}{(x-1)^2}\\\\\boxed{g'(x)=\dfrac{4x^2-8x-5}{x^2-2x+1}}[/tex]
2) Les tangentes aux courbes représentatives des fonctions f et g aux points d'abscisse 4 sont parallèles si leurs coefficients directeurs sont égaux, soit si
f '(4) = g'(4).
Vérifions si cette dernière égalité est correcte.
[tex]f'(x)=3\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\Longrightarrow f'(4)=3\sqrt{4}-\dfrac{1}{\sqrt{4}}\\\\\Longrightarrow f'(4)=3\times2-\dfrac{1}{2}=6-\dfrac{1}{2}\\\\\Longrightarrow\boxed{f'(4)=\dfrac{11}{2}=5,5}\\\\\\g'(x)=\dfrac{4x^2-8x-5}{x^2-2x+1}\Longrightarrow g'(4)=\dfrac{4\times16-8\times4-5}{16-2\times4+1}\\\\\\\Longrightarrow g'(4)=\dfrac{64-32-5}{16-8+1}=\dfrac{27}{9}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{g'(4)=3}[/tex]
Puisque f '(4) et g'(4) ont des valeurs différentes, les tangentes aux courbes représentatives des fonctions f et g aux points d'abscisse 4 ne sont pas parallèles.
