Bonjour ;
Exercice n° 2 :
1)
Début ;
Variables i , N , S : nombres entiers naturels ;
Afficher " Introduire un nombre entier naturel non nul ." ;
Lire N ;
i := 1 ;
S := 0 ;
Tant que i < N + 1
S := S + i
i := i + 1
Fin Tant que
Afficher S ;
Fin .
2) Il y a deux méthodes :
a) Soit on fait tourner notre programme plusieurs fois en tentant de nous approcher peu à peu de la valeur qu'on cherche . On trouve N = 141 et la somme correspondante est : 10011 . (C'est probablement la méthode que votre professeur demande , car on travaille sur des programmes . La deuxième méthode est purement mathématiques .) .
b) Soit en utilisant la formule mathématique qui affirme que la somme des nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à N est : N(N + 1)/2 .
On a ainsi : N(N + 1)/2 ≥ 10000 donc N² + N ≥ 20000
donc N² + N - 20000 ≥ 0 .
Le désciminant Δ de cette expression est : 1² - 4 x 2000 = 80001 ,
donc N² + N - 20000 s'annule pour pour les deux valeurs suivantes :
(- 1 + √80001)/2 ≈ 140,9 ou (- 1 - √80001)/2 ≈ - 141,9 .
Le tableau de signe de N² + N - 20000 est :
N - ∞ - 141,9 140,9 + ∞
--------------------------------------------------------------------------------------------
N² + N - 20000 + 0 - 0 +
On a : N² + N - 20000 ≥ 0 pour N ∈ ] - ∞ ; - 141,9] ∪ [ 140,9 ; + ∞ [ ,
et comme N ∈ N* donc N ∈ [ 140,9 ; + ∞ [ ,
donc le plus petit N vérifiant la condition imposée est : 141 ,
donc la somme des nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à 141 est :
141 x 142 / 2 = 10011 .
