Bonjour
Catherine1234
1) Voir pièce jointe.
Il suffit de tracer deux disques de centres A et B dont les rayons sont égaux à 500.
La zone de la route sur laquelle le bolide d'Emma peut être enregistré par les deux radars se trouve sur la portion de route située dans l'intersection des deux disques et serait donc comprise entre les abscisses -200 et 100.
2) Soit E(x ; 300)
A (200 ; 0)
Alors :
[tex]AE=\sqrt{(x-200)^2+(0-300)^2}\\\\AE=\sqrt{(x^2-400x+40\ 000)+90\ 000}\\\\\boxed{AE=\sqrt{x^2-400x+130\ 000}}[/tex]
2) Le bolide sera visible par le radar A quand il sera dans le disque de centre A et de rayon 500.
Cela signifie que l'on a : AE ≤ 500 ou encore AE² ≤ 500², soit AE² ≤ 250 000
[tex]AE^2\le250\ 000\\\\\Longleftrightarrow(\sqrt{x^2-400x+130\ 000})^2\le250\ 000\\\\\Longleftrightarrow\boxed{x^2-400x+130\ 000\le250\ 000}[/tex]
c) En développant (x + 200)(x - 600), nous obtenons :
(x + 200)(x - 600) = x² - 600x + 200x - 120 000
(x + 200)(x - 600) = x² - 400x - 120 000
Donc
x² - 400x + 130 000 ≤ 250 000
⇔ x² - 400x + 130 000 - 250 000 ≤ 0
⇔ x² - 400x - 120 000 ≤ 0
⇔ (x + 200)(x - 600) ≤ 0
d) Résolvons l'inéquation (x + 200)(x - 600) ≤ 0
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-200&&600&&+\infty\\x+200&&-&0&+&+&+&\\x-600&&-&-&-&0&+&\\&&&&&&&\\(x+200)(x-600)&&+&0&-&0&+&\\ \end{array}\\\\\\\\(x+200)(x-600)\le0\Longleftrightarrow\boxed{x\in[-200;600]}[/tex]
Par conséquent,
la zone de la route sur laquelle le bolide d'Emma peut être enregistré par le radar A se trouve dans l'intervalle [-200 ; 600].
3) a) Le raisonnement est analogue.
Soit E(x ; 300)
B (-300 ; 0)
Alors :
[tex]BE=\sqrt{(x+300)^2+(0-300)^2}\\\\BE=\sqrt{(x^2+600x+90\ 000)+90\ 000}\\\\\boxed{BE=\sqrt{x^2+600x+180\ 000}}[/tex]
Le bolide sera visible par le radar B quand il sera dans le disque de centre B et de rayon 500.
Cela signifie que l'on a : BE ≤ 500 ou encore BE² ≤ 500², soit BE² ≤ 250 000
[tex]BE^2\le250\ 000\\\\\Longleftrightarrow(\sqrt{x^2+600x+180\ 000})^2\le250\ 000\\\\\Longleftrightarrow\boxed{x^2+600x+180\ 000\le250\ 000}[/tex]
En développant (x + 700)(x - 100), nous obtenons :
(x + 700)(x - 100) = x² - 100x + 700x - 70 000
(x + 700)(x - 100) = x² + 600x - 70 000
Donc
x² + 600x + 180 000 ≤ 250 000
⇔ x² + 600x + 180 000 - 250 000 ≤ 0
⇔ x² + 600x - 70 000 ≤ 0
⇔ (x + 700)(x - 100) ≤ 0
b) Résolvons l'inéquation (x + 700)(x - 100) ≤ 0
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-700&&100&&+\infty\\x+700&&-&0&+&+&+&\\x-100&&-&-&-&0&+&\\&&&&&&&\\(x+700)(x-100)&&+&0&-&0&+&\\ \end{array}\\\\\\\\(x+700)(x-100)\le0\Longleftrightarrow\boxed{x\in[-700;100]}[/tex]
Par conséquent,
la zone de la route sur laquelle le bolide d'Emma peut être enregistré par le radar A se trouve dans l'intervalle [-700 ; 100].
c) La zone de la route sur laquelle le bolide d'Emma peut être enregistré par les deux radars se trouve à l'intersection des deux tronçons [-200 ; 600] et
[-700 ; 100].
Cette intersection est l'intervalle [-200 ; 100], ce qui confirme bien la conjecture émise dans la question 1.
