Bonjour,
1)
(1 + a)(1 + b)(1 + c)
= (1 + b + a + ab)(1 + c)
= 1 + c + b + bc + a + ac + ab + abc
= (a + b + c) + 1 + (ab + bc + ac + abc)
= S + 1 + (ab + bc + ac + abc)
Sachant que a, b et c sont positifs, on a :
ab, bc, ac et abc positifs
Donc ab + bc + ac + abc > 0
Et par conséquent : S + 1 + (ab + bc + ac + abc) > S + 1
Soit (1 + a)(1 + b)(1 + c) > S + 1
2)
(a + b√7)² = 88 - 30√7
⇔ a² + 2√7ab + 7b² = 88 - 30√7
⇔ (a² + 7b² - 88) + (2ab + 30)√7 = 0
soit :
a² + 7b² - 88 = 0 (Equation 1)
et
2ab + 30 = 0 (Equation 2)
(2) ⇔ ab = -15
Quels sont les entiers dont le produit vaut -15 ?
a = 3 et b = -5
a = -3 et b = 5
a = 5 et b = -3
a = -5 et b = 3
Parmi ces 4 couples (a,b) possibles, lequel ou lesquels respectent l'équation (1) :
a² + 7b² = 88
3² + 7x(-5)² = 9 + 175 = 184
(-3)² + 7x(5)² = 184
5² + 7x(-3)² = 25 + 63 = 88
(-5)² + 7x(3)² = 88
Donc :
a = 5 et b = -3
OU
a = -5 et b = 3
On en déduit :
√(88 - 30√7) = √(a + b√7)²
= (a + b√7)
= (5 - 3√7) OU (-5 + 3√7)
Or (5 - 3√7) < 0 donc ne peut être égal à une racine carrée.
Donc √(88 - 30√7) = -5 + 3√7
