1) Déterminer ce point est résoudre l'équation g(x)=0
g(x)=0=(2ln(x)+1)/x soit x=1/√e (je te laisse le détail du calcul (NB: utilise les propriétés de la fonction exponentielle)
2)a)Soit g(x)=(2ln(x)+1)/x est du type g(x)=u/v donc sa dérivée est du type:
g'(x)=(u'v-uv')/(v²) avec u=2ln(x)+1 donc u'=2/x et v=x donc v'=1 d'où (je te laisse les détail du calcul)
g'(x)=(1-2ln(x))/x²----> CQFD
b)g'(x)=0 si 1-2ln(x)=0 donc si x=√e
g'(x)<0 si x>√e et g'(x)>0 si x<√e (je te laisse le soin de faire le tableau de signe entre [0.5;5])
c) g'(x)<0 si x>√e alors g est décroissante sur[√e;5]
Si g'(x)>0 si x<√e alors g croissante sur [0.5;√e]
(je te laisse faire le tableau de variation)
3)Une tangente à une courbe se calcule avec la relation:
y=f'(a)(x-a)+f(a) nous on a a=1 et f=g ainsi g=g' d'où (tu feras le détail du calcul)
y=(1-2ln(1))/1²(x-1)+(2ln(1)+1)/1
y=x est tangente à la courbe en x=1
4)a) Tu constates que ton aire est comprise en entre le rectangle formé par x=1, x=3, l'axe des abscisses et la droite d'équation y=1 donc son aire est alors par: A(rectangle)=L*l=2*1=2 unités d'aire ainsi que le carré formé entre les droite d'équation x=1, x=3, l'axe des abscisses et la droite d'équation y=2 et son aire est donnée par : A(carré)=L²=2²=4 unités d'aire. On en conclus alors que : 2<D<4.
b)G est primitive de g si et seulement si G'(x)=g(x).
G(x) est du type G(x)=u*v donc G'(x)=u'v+uv' avec u=ln(x) donc u'=1/x
v=(lnx+1) donc v'=1/x
d'où: G'(x)=(1/x)(lnx+1)+lnx/x=(2lnx+1)/x=g(x) donc G(x) est bien primitive de g(x)
c) Calculer l'aire est calculé l'intégrale de g(x) entre 0.5 et 5 d'où:
D=∫g(x)dx (entre 0.5 et 5)=G(5)-G(0.5)= 2.01 unités d'aire environ.
J'espère t'avoir aidé, ne te contente pas de recopier mais essaie de comprendre la démarche. Cordialement.
