1) Forme 1 :
f(x) = -2(x-3)²+2 = -2(x²-6x+9)+2 = -2x²+12x-16
Forme 2 :
f(x) = -2(x-4)(x-2) = (-2x+8)(x-2) = -2x²+12x-16
Forme 3 :
f(x) = -2x²+12x-16
Donc ces trois formes définissent bel et bien la même fonction. La forme 1 est la forme canonique, la 2 est la forme factorisée, et la 3 est la forme développée.
2) a. f(0) = -2(0-3)²+2 = -2*9+2 = -16
Donc P coupe l'axe des ordonnées en 0.
b. Une fonction du second degré a pour formule factorisée a(x-x1)(x-x2) si elle admet deux racines, avec x1 et x2 les deux racines.
Donc on prend la forme 2 et on en déduit que P coupe l'axe des abscisses en 2 et en 4.
c. Une fonction du 2nd degré est de forme ax²+bx+c.
Le signe de a est négatif, donc la fonction f est croissante sur ]-∞;-b/2a] puis décroissante sur [-b/2a;+∞[
Donc f est croissante sur ]-∞;3] puis décroissante sur [3;+∞[.
d. La forme canonique d'une fonction s'écrit a(x-α)²+β
β est le maximum de la fonction, donc f admet pour maximum 2.
Un extremum d'une fonction du second degré est toujours atteint en α, donc le maximum de f est atteint en 3.
3) Voir pièce-jointe. Tu n'a pas besoin de mettre les "-∞" en bas du tableau car ceci se fait à partir de la Terminale. Tu n'as pas besoin de mettre le tableau de signe de la fonction dérivée f' non plus car ce n'est pas demandé dans la consigne.
4) a. D'après la question 2.a, f coupe l'axe des ordonnées pour x = -16. Donc f(x) = -16 ⇒ x = 0
