Bonjour,
1) ABCD est un rectangle, donc AB = CD et BC = AD.
NCP est donc un triangle rectangle en C, et MAQ est rectangle en A.
De plus, comme AM = CP = BN = DQ, alors AQ = CN
D'après Pythagore :
MQ² = AM²+AQ² = CP²+CN² = NP² ⇒ MQ = NP donc MNPQ est un parallélogramme.
2) a) Comme M∈[AB] et AB = 6cm, alors AM∈[0;6], donc x∈[0;6].
Donc la fonction f est définie sur [0;6].
b) À partir des données de l'énoncé et des résultats précédents, on déduit que la valeur maximale de f est l'aire de ABCD, donc 48. Cette valeur est donc atteinte si x = 0.
c) On trace la courbe représentative de f sur [0;6]. On conjecture alors que le minimum de f est 23.5 et est atteint pour x = 3.5
d) On calcule l'aire X des deux petits triangles :
X = (x(6-x)/2)*2 = -x²+6x cm²
On calcule l'aire Y des grands triangles :
Y = (x(8-x)/2)*2 = -x²+8x cm²
Donc l'aire totale des triangles est X+Y = -x²+6x-x²+8x = -2x²+14x cm²
On calcule l'aire Z du rectangle ABCD :
Z = 6*8 = 48cm²
On peut maintenant calculer la fonction f, c'est-à-dire l'aire de MNPQ :
f(x) = Z-(X+Y) = 48-(-2x²+14x) = 48+2x²-14x = 2x²-14x+48
3) a) On a une fonction du second degré, donc de la forme ax²+bx+c. Ici, a = 2 donc a est strictement positif, donc f admet un minimum sur ℝ.
On calcule les coordonnées (α;β) du minimum de la fonction.
α = -b/2a = 14/4 = 3.5
β = f(α) = 2(3.5)²-14(3.5)+48 = 23.5
Donc le minimum a pour coordonnées (3.5;23.5). De plus, α∈[0;6] donc le minimum de f sur [0;6] est 23.5, atteint en x = 3.5. La conjecture est démontrée.
Donc la forme canonique de f est :
f(x) = 2(x-α)²+β = 2(x-3.5)²+23.5
b) Soit l'équation (E) : 2x²-14x+48 = 24 ⇒ 2x²-14x+24 = 0 ⇒ x²-7x+12 = 0
Δ = b²-4ac = (-7)²-4*1*12 = 49-48 = 1
Δ est positif donc l'équation (E) admet deux solutions distinctes dans ℝ.
x1 = (-b-√Δ)/(2a) = (7-1)/2 = 6/2 = 3
3∈[0;6] donc x1 est solution dans [0;6]
x2 = (-b+√Δ)/(2a) = (7+1)/2 = 8/2 = 4
4∈[0;6] donc x2 est solution dans [0;6]
Donc les deux antécédents de 24 sont 3 et 4. Cela signifie que si x = 3 ou x = 4, alors l'aire de MNPQ sera égale à 24cm²
