1°) La méthode Traube est une méthode qu'utilisent les marins pour
savoir à quelle distance il passerons d'un point A extérieur à leur
route
.
Donc leur méthode est de déterminer la longueur du segment [EC] ,
et suivant les angles [tex]\widehat{HEA}\;et\;\widehat{HCA}[/tex] on
peut déterminer un lien entre AH et EC.
Par exemple lorsque [tex]\widehat{HEA}=34°\;et\;\widehat{HCA}=22°[/tex] alors AH≈EC.
Démonstration:
Pour déterminer AH dans le triangle HEA nous avons
[tex]tan\;\alpha = \frac{AH}{HE} [/tex]
Dans le triangle ACH nous avons
[tex]tan\;\beta = \frac{AH}{HC} [/tex]
Soit x=HE alors
[tex]tan\;\alpha = \frac{AH}{x} [/tex]
et
[tex]tan\;\beta = \frac{AH}{x+EC} [/tex]
Donc
[tex]AH = x*tan\; \alpha[/tex]
et [tex]AH = (x+EC)*tan\; \beta[/tex]
On a ainsi [tex](x+EC)*tan\; \beta = x*tan\; \alpha[/tex]
[tex]x*tan\; \beta+EC*tan\; \beta = x*tan\; \alpha[/tex]
[tex]x*tan\; \alpha- x*tan\; \beta= EC*tan\; \beta [/tex]
[tex]x*(tan\; \alpha- tan\; \beta)= EC*tan\; \beta [/tex]
Donc
[tex]x=\frac{EC*tan\; \beta}{(tan\; \alpha- tan\; \beta)} [/tex]
Or [tex]tan\;\alpha = \frac{AH}{x} [/tex]
Donc [tex]x = \frac{AH}{tan\;\alpha} [/tex]
On a donc
[tex]\frac{EC*tan\; \beta}{(tan\; \alpha- tan\; \beta)} = \frac{AH}{tan\;\alpha} [/tex]
Ainsi on a
[tex]\frac{tan\;\alpha*tan\; \beta}{(tan\; \alpha- tan\; \beta)} = \frac{AH}{EC} [/tex]
Par calcul on trouve que pour
[tex] \alpha=34° et \beta=22°[/tex]
[tex]\frac{tan\;34*tan\; 22}{(tan\; 34- tan\; 22)} [/tex]≈1,0075..
C'est à dire que
[tex] \frac{AH}{EC} [/tex] ≈1 soit AH≈EC grosso modo
ceci explique pourquoi la méthode de Traub est vraie.
2°)
En se servant des relevés du navigateur on détermine la longueur de CE=4km car
Distance=Vitesse×Temps
D'où Distance= 20km/h ×[tex] \frac{1}{5} [/tex] car 5×12min=1heure
Donc Distance=[tex] \frac{20}{5}=4 [/tex]
Maintenant quand on utilise la trigonométrie dans le triangle AEH on a:
[tex] \frac{AH}{x} =tan 34[/tex]
soit [tex] AH= x[/tex] ×tan 34
Et dans le triangle ACH on a
[tex] \frac{AH}{x+4} =tan 22[/tex]
soit [tex] AH= (x+4)[/tex] ×tan 22
Donc on a l'égalité:
[tex] AH= (x+4) *tan 22= x*tan 34[/tex]
[tex] x*tan 22+4*tan 22= x*tan 34[/tex]
[tex] 4*tan 22= x*tan 34-x*tan 22[/tex]
[tex] 4*tan 22= x*(tan 34-tan 22)[/tex]
[tex] \frac{4*tan 22}{(tan 34-tan 22)}= x[/tex]
[tex] x=\frac{4*tan 22}{(tan 34-tan 22)}[/tex]
Or [tex] tan 34=\frac{AH}{x}[/tex]
Donc [tex] AH=x*tan\;34°[/tex]
On trouve donc [tex] AH=tan\;34*\frac{4*tan 22}{(tan 34-tan 22)}[/tex]≈ 4,03
donc oui le navigateur a raison il passera bien à environ 4km de l'ilot .
voili voilou
là çà fait plus propre
