Bonjour,
"Le chiffre des unités de 17 exposant 1 est 7" signifie que le reste de la division euclidienne de 17 par 10 est 7. En effet, 17 = 10*1+7.
Autrement dit, 17 ≡ 7 [10]
On cherche un entier p tel que [tex]17^{p}[/tex] ≡ 1 [10] , c'est à dire un entier p tel que le chiffre des unités de [tex]17^{p}[/tex] est 1.
On procède cas par cas :
17^1 = 17 ≡ 7 [10]
17^2 = 289 ≡ 9 [10]
17^3 = 4913 ≡ 3 [10]
17^4 = 83521 ≡ 1 [10]
Donc 17^4 ≡ 1 [10]
On sait que :
Si a ≡ b [n], alors a^k ≡ b^k [n] , avec a, b, k et n entiers naturels.
De plus, 2017 = 504*4+1
Donc [tex]17^{2017}[/tex] = [tex]17^{504*4+1}[/tex] = [tex](17^{4})^{504}*17 [/tex]
Or 17 ≡ 7 [10] et 17^4 ≡ 1 [10]
Donc [tex]17^{2017}[/tex] ≡ [tex]1^{504}*7[/tex] [10]
Or 1^504 = 1
Donc [tex]17^{2017}[/tex] ≡ [tex]1*7[/tex] [10]
Donc [tex]17^{2017}[/tex] ≡ [tex]7[/tex] [10]
Donc le reste de la division euclidienne de 17^2017 par 10 est 7.
Donc le chiffres des unités de 17^2017 est 7.
