Bonjour,
Exercice 1 :
P1. Si n ≡ 0 [3] alors 2^(2n) = 1 ≡ 1 [3] donc 2^(2n)-1 ≡ 0 [3]
Si n ≡ 1 [3] alors 2^(2n) ≡ 1 [3] donc 2^(2n)-1 ≡ 0 [3]
Si n ≡ 2 [3] alors 2^(2n) = 2^(2n) ≡ 1 [3] donc 2^(2n)-1 ≡ 0 [3]
Donc l'affirmation est vraie.
P2. Pour x = 2 :
x^2+x = 2^2+2 = 6 ≡ 0 [6]
Or x = 2 ≡ 2 [3]
Donc l'affirmation est fausse.
P3. [tex] \left \{ {x^2+x \equiv 2 \pmod 3} \atop {x^2+x \equiv 2 \pmod 5} \right. \Rightarrow \left \{ x^2+x=3k{} \atop {x^2+x=5k'} \right. [/tex] ⇒ 3k+2 = 5k'+2
5 et k sont premiers entre eux. De plus, 5 | 3k
Donc d'après le théorème de Gauss : 5 | k ⇒ k = 5k" ⇒ x²+x = 3*5k"+2 = 15k''+2 ⇒ x²+x ≡ 2 [15]
Donc l'affirmation est vraie.
Exercice 2 :
1) 5999 ≡ 35 [994] ⇒ PGCD(5999;994) = PGCD(994;35)
994 ≡ 14 [35] ⇒ PGCD(5999;994) = PGCD(35;14)
35 ≡ 7 [14] ⇒ PGCD(5999;994) = PGCD(14;7)
14 ≡ 0 [7] ⇒ PGCD(5999;994) = 7
2) a) (E) : 142x-857y = 3 avec (x;y)∈ℤ²
142(-1032)-857(-171) = 3
b) [tex] \left \{ {{142x-857y=3} \atop {142(-1032)-857(-171) = 3}} \right. [/tex]
Donc 142x-857y-(142(-1032)-857(-171)) = 0 ⇒ 142x-857y-142(-1032)+857(-171) ⇒ 142(x+1032)-857(y+171) = 0 ⇒142(x+1032) = 857(y+171)
142 | 857(y+171) et 142 et 857 sont premiers entre eux, donc d'après le théorème de Gauss : y+171 = 142k ⇒ y = 142k-171
Donc 142(x-1032) = 857(142k-171+171) = 857*142k ⇒ x+1032 = 857k ⇒ x = 857k-1032
Donc les solutions de (E) est le couple (857k-1032;142k-171).
3) J'ai beau avoir cherché le symbole, je l'ai pas trouvé, donc on va l'appeler ω.
ω = PCGD(x;y) (avec (x;y) solution de (E))
Donc ω = PCGD(857k-1032;142k-171) = PCGD(857k-1032-6(142k-171);142k-171) = PCGD(5k-6;142k-171) = PCGD(5k-6;142k-171-29(5k-6)) = PGCD(5k-6;-3k+3) = PGCD(5k-6-3k+3;-3k+3) = PGCD(2k-3;-3k+3) = PGCD(2k-3;-3k+3+2(2k-3)) = PGCD(2k-3;k-3) = PGCD(2k-3;k-3) = (2k-3-(k-3);k-3) = PGCD(k;k-3) = PGCD(k;k-3-k) = PGCD(k;-3) = PGCD(k;3)
a) 3 est un nombre premier, donc les valeurs possibles de ω sont 1 et 3.
b) Si k ≡ 0 [3] alors ω = 3
Sinon, ω = 1
4) Désolé, mais je sèche totalement pour celle-ci...
