Bonjour
Melizoou
1) a) Arbre en pièce jointe.
[tex]b)\ p_1=0,94p_0+0,04(1-p_0)\\\\p_1=0,94p_0+0,04-0,04p_0\\\\p_1=0,90p_0+0,04\\\\\boxed{p_1=0,9p_0+0,04}[/tex]
[tex]2)\ Nous\ savons\ que\ :\ \boxed{p_{n+1}=0,9p_n+0,04}\ \ et\ \ \boxed{u_n=p_n-0,4}\\\\a)\ u_{n+1}=p_{n+1}-0,4\\\\u_{n+1}=0,9p_n+0,04-0,4\\\\u_{n+1}=0,9p_n+0,36\\\\u_{n+1}=0,9p_n+0,9\times0,4\\\\u_{n+1}=0,9(p_n+0,4)\\\\\boxed{u_{n+1}=0,9u_n}[/tex]
Donc la suite (Un) est une suite géométrique de raison 0,9.
[tex]u_0=p_0-0,4=0,55-0,4=0,15[/tex]
Le premier terme est [tex]u_0=0,15[/tex]
[tex]b)\ u_n=u_0\times q^n\Longrightarrow\boxed{u_n=0,15\times0,9^n}\\\\u_n=p_n-0,4\Longrightarrow p_n=u_n+0,4\Longrightarrow\boxed{p_n=0,15\times0,9^n+0,4}\\\\\\c)\ \lim\limits_{n\to+\infty}0,9^n=0\ \ car\ \ 0\ \textless \ 0,9\ \textless \ 1\\\\\\\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}(0,15\times0,9^n+0,4)=0+0,4=0,4\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}p_n=0,4}[/tex]
Interprétation :
A long terme, 40% des clients posséderont une carte de fidélité.
[tex]3)\ 0,15\times0,9^n+0,4\le0,45\\\\0,15\times0,9^n\le0,45-0,4\\\\0,15\times0,9^n\le0,15\\\\0,9^n\le\dfrac{0,15}{0,15}\\\\0,9^n\le1[/tex]
Cette dernière inéquation étant vérifiée pour tout entier naturel n, nous en déduisons que l'ensemble des solutions naturelles de cette inéquation est [tex]\boxed{S=\mathbb{N}}[/tex]
Interprétation :
Quel que soit le nombre de mois écoulés, le pourcentage de personnes possédant une carte de fidélité ne dépassera jamais 45 %.
