Bonjour
Thomasdouillez
Exercice 2
[tex]f(x)=4\cos(\dfrac{x}{3}-\dfrac{\pi}{6})[/tex]
[tex]1)a)\ f(x)=4\cos(\dfrac{x}{3}-\dfrac{\pi}{6})\\\\f(x)=4[\cos(\dfrac{x}{3})\cos(\dfrac{\pi}{6})+\sin(\dfrac{x}{3})\sin(\dfrac{\pi}{6})]\\\\f(x)=4[\cos(\dfrac{x}{3})\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\sin(\dfrac{x}{3})\times\dfrac{1}{2}]\\\\f(x)=\dfrac{4\sqrt{3}}{2}\cos(\dfrac{x}{3})+\dfrac{4}{2}\sin(\dfrac{x}{3})\\\\\boxed{f(x)=2\sqrt{3}\cos(\dfrac{x}{3})+2\sin(\dfrac{x}{3})}[/tex]
[tex]b)\ 9y''+y=0\Longleftrightarrow y''+\dfrac{1}{9}y=0[/tex]
Cette équation différentielle est donc de la forme [tex]y''+\omega^2y=0[/tex] avec [tex]\omega=\dfrac{1}{3}[/tex]
Par conséquent, les solutions de cette équations sont de la forme [tex]\boxed{A\cos(\dfrac{x}{3})+B\sin(\dfrac{x}{3})}[/tex] avec A et B deux constantes réelles.
[tex]c)\ f(x)=2\sqrt{3}\cos(\dfrac{x}{3})+2\sin(\dfrac{x}{3})\\\\f'(x)=-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\sin(\dfrac{x}{3})+\dfrac{2}{3}\cos(\dfrac{x}{3})\\\\f''(x)=-\dfrac{2\sqrt{3}}{9}\cos(\dfrac{x}{3})-\dfrac{2}{9}\sin(\dfrac{x}{3})[/tex]
D'où
[tex]9y''+y=9\times[-\dfrac{2\sqrt{3}}{9}\cos(\dfrac{x}{3})-\dfrac{2}{9}\sin(\dfrac{x}{3})]+2\sqrt{3}\cos(\dfrac{x}{3})+2\sin(\dfrac{x}{3})\\\\\\9y''+y=-2\sqrt{3}\cos(\dfrac{x}{3})-2\sin(\dfrac{x}{3})+2\sqrt{3}\cos(\dfrac{x}{3})+2\sin(\dfrac{x}{3})\\\\\boxed{9y''+y=0}[/tex]
Par conséquent, f est une solution de l'équation différentielle 9y"+y=0.
[tex]2)\ f(x)=4\\\\4\cos(\dfrac{x}{3}-\dfrac{\pi}{6})=4\\\\\cos(\dfrac{x}{3}-\dfrac{\pi}{6})=1\\\\\\\dfrac{x}{3}-\dfrac{\pi}{6}=2k\pi\ \ (k\in\mathbb{Z})\\\\\\\dfrac{x}{3}=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\ \ (k\in\mathbb{Z})\\\\\\x=3\times\dfrac{\pi}{6}+3\times2k\pi\ \ (k\in\mathbb{Z})\\\\\\\boxed{x=\dfrac{\pi}{2}+6k\pi\ \ (k\in\mathbb{Z})}[/tex]
