a) calculer f'(x) :
f(x) = x^3 - 24x^2 + 180x + 60
f'(x) = 3x^2 - 48x + 180
f'(x) = 3 (x^2 - 16x + 60)
b) f'(x) = 0
3 (x^2 - 16x + 60) = 0
3 ne peut être égal à 0 donc :
x^2 - 16x + 60 = 0
Delta^2 = (-16)^2 - 4 * 1 * 60
Delta^2 = 256 - 240
Delta^2 = 16
Delta = V16
Delta = 4 > 0 donc deux solutions
X1 = (16 - 4) / (2 * 1)
X1 = 12 / 2
X1 = 6
X2 = (16 + 4) / (2 * 1)
X2 = 20 / 2
X2 = 10
x^2 - 16x + 60 = (x - 10)(x - 6)
c) étudier le signe de f'(x) :
x.............|..0...............6...............10...........15...........
---------------------------------------------------------------
x-10.......|.........(-).........|........(-).....O.....(+)................
x-6.........|.........(-)........O......(+).....|.......(+)...............
f'(x)........|..........(+).......O......(-).....O......(+)..............
Donc f'(x) est positive sur ]-inf;6[ U ]10;+inf[
f'(x) est négative sur ]-10;-6[
d) tableau de variation :
x............|..0................6.............10.................15.......
---------------------------------------------------------------
f'(x)........|..........(+).......O......(-).....O......(+)..............
f(x)......flèche haut (1)flèche bas(2)flèche haut
(1) = f(6)
(1) = 6^3 - 24 * 6^2 + 180 * 6 + 60
(1) = 216 - 864 + 1080 + 60
(1) = 492
(2) = f(10)
(2) = (10)^3 - 24 * 10^2 + 180 * 10 + 60
(2) = 1000 - 2400 + 1800 + 60
(2) = 460
