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résolu

bonjour vous pouvez m'aidez svp

1_ g est la fonction définie sur )0; + infinie( par: g(x)= ln x +2x²-3 a) déterminer l'expression de g'(x) pour tout nombre réel x>0 b) étudier le sens de variation de g c) Prouver que l'équation g(x)=0 admet une unique solution alpha dans l'intervalle (1;2) déterminer une valeur approchée alpha à 10-² près. d) étudier le signe de g(x) suivant les valeurs de x 2_ f est la fonction définie sur )0;+infinie( par: f(x)=2/x - ln x / x +2x -5 a) vérifier que pour tout x >0, f'(x)= g(x) /x² b) en deduire le sens de variation de f

Répondre :

PAULINEOLERONVIZ
1) a. Pour tout réel x>0
g(x)= ln x + 2x² - 3
g'(x) = (1÷x) + 4x

b. Pour tout réel x>0   g'(x)>0
donc g est strictement croissante sur ] 0 ; +∞[

c. lim g(x) quand x tend vers +∞ = +∞
lim g(x) quand x tend vers 0, x>0 = -∞
g est continue sur ] 0 ; +∞ [ , g est strictement croissante sur cet intervalle et lim g(x) quand x tend vers +∞ = +∞ et lim g(x) quand x tend vers 0, x>0 = -∞ donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué aux fonctions strictement monotones, g(x)=0 admet une unique solution notée alpha

Par balayage à la calculatrice :
g(1) = -1   et g(2) = 5.69  donc  1 < alpha < 2
g(1.1) = -0.48  et g(1.2) = 0.06    donc 1.1 < alpha < 1.2
g(1.18) = -0.049  et g(1.19) = 6.15 * 10^-3   donc 1.18 < alpha < 1.19

d. g(x) < 0 sur ] 0 ; alpha ]
g(x) > sur [ alpha ; +∞ [
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