Bonjour
Carolinaaaaa
Exercice 40
1) Notons par h la hauteur issue de A.
La hauteur h est perpendiculaire à la droite (BC).
Donc le coefficient directeur de h est l'opposé de l'inverse du coefficient directeur de (BC)
Or le coefficient directeur de (BC) est égal à [tex]\dfrac{y_C-y_B}{x_C-x_B}=\dfrac{0+3}{-1-2}=\dfrac{3}{-3}=-1[/tex]
Donc le coefficient directeur de h est [tex]-(\dfrac{1}{-1})=1[/tex]
Nous en déduisons que l'équation de h est de la forme y = x + b
Or le point A(3;1) appartient à h.
Donc 1 = 3 + b
b = -2
Par conséquent, l'équation de la hauteur h issue de A est [tex]\boxed{y=x-2}[/tex]
2) Notons par m la médiatrice de [AB].
La médiatrice m passe par le milieu M de [AB] et est perpendiculaire à (AB).
Coordonnées de M
[tex](x_M;y_M)=(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2})\\\\(x_M;y_M)=(\dfrac{3+2}{2};\dfrac{1-3}{2})\\\\(x_M;y_M)=(\dfrac{5}{2};-1)[/tex]
La médiatrice m est perpendiculaire à (AB).
Donc son coefficient directeur est l'opposé de l'inverse de celui de (AB)
Or le coefficient directeur de (AB) = [tex]\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{-3-1}{2-3}=\dfrac{-4}{-1}=4[/tex]
Donc le coefficient directeur de m est [tex]-(\dfrac{1}{4})=\dfrac{-1}{4}[/tex]
Nous en déduisons que l'équation de h est de la forme [tex]y=-\dfrac{1}{4}x+b[/tex]
Or le point [tex]M(\dfrac{5}{2};-1)[/tex] appartient à m.
Donc
[tex]-1=-\dfrac{1}{4}\times\dfrac{5}{2}+b\\\\-1=-\dfrac{5}{8}+b\\\\b=\dfrac{5}{8}-1\\\\b=\dfrac{5}{8}-\dfrac{8}{8}\\\\\boxed{b=-\dfrac{3}{8}}[/tex]
Par conséquent, l'équation de la médiatrice de [AB] est [tex]\boxed{y=-\dfrac{1}{4}x-\dfrac{3}{8}}[/tex]
Exercice 43
(E) : x² - 2x + y² - 4y - 9 = 0
[tex]1)\ a)\ x^2-2x=x^2-2x+1-1\\\\x^2-2x=(x^2-2x+1)-1\\\\\Longrightarrow\boxed{x^2-2x=(x-1)^2-1}\\\\\\b)\ y^2-4y=y^2-4y+4-4\\\\y^2-4y=(y^2-4y+4)-4\\\\\Longrightarrow\boxed{y^2-4y=(y-2)^2-4}[/tex]
2) L'équation de (E) devient :
[tex]x^2-2y+y^2-4y-9=0\\\\\Longleftrightarrow(x-1)^2-1+(y-2)^2-4-9=0\\\\\Longleftrightarrow(x-1)^2+(y-2)^2-14=0\\\\\Longleftrightarrow(x-1)^2+(y-2)^2=14\\\\\Longleftrightarrow\boxed{(x-1)^2+(y-2)^2=(\sqrt{14})^2}[/tex]
Par conséquent, (E) est un cercle de centre (1 ; 2) et de rayon [tex]\sqrt{14}[/tex]
