Bonjour
Oceean
Exercice 34
Soit x le nombre choisi dans l'intervalle [-1 ; 3]
La probabilité demandée est
[tex]P_{(x\ \textgreater \ 0)}(x\ \textless \ 2)=\dfrac{P((x\ \textgreater \ 0)\ \cap\ (x\ \textless \ 2))}{P(x\ \textgreater \ 0)}\\\\\\\boxed{P_{(x\ \textgreater \ 0)}(x\ \textless \ 2)=\dfrac{P(0\ \textless \ x\ \textless \ 2)}{P(x\ \textgreater \ 0)}}[/tex]
Or
[tex]P(0\ \textless \ x\ \textless \ 2)=\int\limits_{0}^2\dfrac{1}{3-(-1)}\ dx=\int\limits_{0}^2\dfrac{1}{4}\ dx=\dfrac{1}{4}\left[x\right]\limits_{0}^2=\dfrac{1}{4}(2-0)=\dfrac{2}{4}\\\\\\P(x\ \textgreater \ 0)=\int\limits_{0}^3\dfrac{1}{3-(-1)}\ dx=\int\limits_{0}^3\dfrac{1}{4}\ dx=\dfrac{1}{4}\left[x\right]\limits_{0}^3=\dfrac{1}{4}(3-0)=\dfrac{3}{4}\\\\\\\\\Longrightarrow P_{(x\ \textgreater \ 0)}(x\ \textless \ 2)=\dfrac{P(0\ \textless \ x\ \textless \ 2)}{P(x\ \textgreater \ 0)}=\dfrac{\dfrac{2}{4}}{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{2}{3}[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{P_{(x\ \textgreater \ 0)}(x\ \textless \ 2)=\dfrac{2}{3}}[/tex]
Exercice 35
a) Soit E le milieu de [CD].
Alors AE = 0,4
Donc la probabilité que M soit à égale de C et de D est la probabilité que AM = 0,4.
[tex]P(AM=0,4)=\int\limits_{0,4}^{0,4}\dfrac{1}{1-0}\ dx=\int\limits_{0,4}^{0,4}1\ dx=\left[x\right]\limits_{0,4}^{0,4}=0,4-0,4=0[/tex]
Par conséquent,
la probabilité que M soit à égale de C et de D est [tex]\boxed{P(AM=0,4)=0}[/tex].
b) La probabilité que M soit plus près de D que de C est la probabilité que AM > 0,4.
[tex]P(AM\ \textgreater \ 0,4)=1-P(AM\ \textless \ 0,4)\\\\P(AM\ \textgreater \ 0,4)=1-\int\limits_0^{0,4}\dfrac{1}{1-0}\ dx\\\\P(AM\ \textgreater \ 0,4)=1-\int\limits_0^{0,4}1\ dx\\\\P(AM\ \textgreater \ 0,4)=1-\left[x\right]\limits_0^{0,4}\\\\P(AM\ \textgreater \ 0,4)=1-(0,4-0)\\\\\boxed{P(AM\ \textgreater \ 0,4)=0,6}[/tex]
Par conséquent, la probabilité que M soit plus près de D que de C est égale à [tex]\boxed{P(AM\ \textgreater \ 0,4)=0,6}[/tex]
c) Soit F le milieu de [AC]
Alors AF = 0,1
M est plus proche de C que de D signifie que AM < AE, soit AM < 0,4
M est plus proche de A que de C signifie que AM < AF, soit AM < 0,1
La probabilité demandée est
[tex]P_{(AM\ \textless \ 0,4)}(AM\ \textless \ 0,1)=\dfrac{P((AM\ \textless \ 0,1)\ \cap (AM\ \ \textless \ 0,4))}{P(AM\ \textless \ 0,4)}\\\\\\\boxed{P_{(AM\ \textless \ 0,4)}(AM\ \textless \ 0,1)=\dfrac{P(AM\ \textless \ 0,1)}{P(AM\ \textless \ 0,4)}}[/tex]
Or
[tex]P(AM\ \textless \ 0,1)=\int\limits_0^{0,1}\dfrac{1}{1-0}\ dx=\int\limits_0^{0,1}1\ dx=\left[x\right]\limits_0^{0,1}=(0,1-0)=0,1\\\\\\P(AM\ \textless \ 0,4)=\int\limits_0^{0,4}\dfrac{1}{1-0}\ dx=\int\limits_0^{0,4}1\ dx=\left[x\right]\limits_0^{0,4}=(0,4-0)=0,4[/tex]
Donc
[tex]P_{(AM\ \textless \ 0,4)}(AM\ \textless \ 0,1)=\dfrac{P(AM\ \textless \ 0,1)}{P(AM\ \textless \ 0,4)}\\\\P_{(AM\ \textless \ 0,4)}(AM\ \textless \ 0,1)=\dfrac{0,1}{0,4}\\\\\\\boxed{P_{(AM\ \textless \ 0,4)}(AM\ \textless \ 0,1)=\dfrac{1}{4}}[/tex]
Par conséquent, la probabilité demandée est [tex]\boxed{P_{(AM\ \textless \ 0,4)}(AM\ \textless \ 0,1)=\dfrac{1}{4}}[/tex]
