Bonjour
Julie888
Exercice 58
1) Arbre pondéré en pièce jointe
Loi de probabilité de X
[tex]p(X=0)=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9}\\\\p(X=1)=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{3}=2\times\dfrac{2}{9}=\dfrac{4}{9}\\\\p(X=2)=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{9}[/tex]
D'où le tableau de la loi de probabilité de X :
[tex]\begin{array}{|c|c|c|c|} x&0&1&2\\&&&\\p(X=x)&\dfrac{1}{9}&\dfrac{4}{9}&\dfrac{4}{9}\\ \end{array}[/tex]
[tex]2)\ p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)=\boxed{\dfrac{1}{9}+2\times\dfrac{2}{9}+\dfrac{4}{9}}\\\\(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3})^2=(\dfrac{1}{3})^2+2\times\dfrac{1}{3}\times\dfrac{2}{3}+(\dfrac{2}{3})^2=\boxed{\dfrac{1}{9}+2\times\dfrac{2}{9}+\dfrac{4}{9}}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)=(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3})^2}[/tex]
[tex]3)\ a)\ P(X\le2)=1\\\\b)\ P(X\le1)=1-p(X=2)=1-\dfrac{4}{9}=\boxed{\dfrac{5}{9}}[/tex]
Exercice 59
1) Arbre pondéré en pièce jointe.
[tex]2)\ a)\ P(X=4)=(\dfrac{1}{2})^4=\dfrac{1}{16}\\\\b)\ P(X=0)=(\dfrac{1}{2})^4=\dfrac{1}{16}[/tex]
3) a) Suivre les chemins qui aboutissent à X = 2
b) La probabilité de chacun d'eux est égale à [tex](\dfrac{1}{2})^4=\dfrac{1}{16}[/tex]
c) Comme il y a 6 chemins aboutissant à X = 2, nous en déduisons que
[tex]p(X=2)=6\times\dfrac{1}{16}=\dfrac{6}{16}=\dfrac{3}{8}[/tex]
[tex]4)\ a)\ p(X=1)=4\times\dfrac{1}{16}=\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}\\\\\\p(X=3)=4\times\dfrac{1}{16}=\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}[/tex]
b) Les résultats sont égaux puisque la pièce de monnaie n'est pas truquée et que l'événement "obtenir 3 fois pile" est identique à l'événement "obtenir 3 fois face", soit à l'événement "obtenir 1 fois pile".
5) a) Loi de probabilité de X
[tex]\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} x&0&1&2&3&4\\&&&&&\\p(X=x)&\dfrac{1}{16}&\dfrac{1}{4}&\dfrac{3}{8}&\dfrac{1}{4}&\dfrac{1}{16}\\ \end{array}[/tex]
[tex]b)\ p(X=0)+p(X=0)+p(X=0)+p(X=0)p(X=0)\\\\=\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{16}\\\\=\dfrac{1}{16}+\dfrac{4}{16}+\dfrac{6}{16}+\dfrac{4}{16}+\dfrac{1}{16}\\\\=\dfrac{16}{16}\\\\=1[/tex]
c) Diagramme en bâtonnets à construire.
[tex]6)\ a)\ E(X)=0\times\dfrac{1}{16}+1\times\dfrac{1}{4}+2\times\dfrac{3}{8}+3\times\dfrac{1}{4}+4\times\dfrac{1}{16}\\\\=0+\dfrac{1}{4}+\dfrac{6}{8}+\dfrac{3}{4}+\dfrac{4}{16}\\\\=0+\dfrac{4}{16}+\dfrac{12}{16}+\dfrac{12}{16}+\dfrac{4}{16}\\\\=\dfrac{32}{16}\\\\=2[/tex]
b) Si nous faisons un grand nombre d'expériences, la moyenne statistique des résultats donnant le nombre de fois pile obtenu serait égale à 2.
