1) Soit f la fonction définies par f(x)=ax²+bx+c.
On sait que A est le sommet de la parabole donc en ce point la dérivée f' de f est nulle donc:
f'(x)=2ax+b donc f'(1)=0=2a+b
On sait aussi que la courbe passe par A et B donc on a le système suivant:
2=a+b+c
5=4a+2b+c
Comme 2a+b=0 donc b=-2a d'où:
2=a-2a+c donc 2=-a+c
5=4a+2b+c donc 5=4a-4a+c donc c=5
Comme 2=c-a donc a=c-2 soit a=3
Comme 2=a+b+c donc b=2-a-c=2-3-5=-6 donc b=-6
On conclue que f(x)=3x²-6x+5
2) Soit f la fonction définis par f(x)=3x²-6x+5 définis sur R.
f'(x)=(3x²-6x+5)'
f'(x)=6x-6=6(x-1)
f'(x)=0 si x-1=0 donc si x=1
f'(x)≥0 si x≥1 donc f croissante sur ]1;+∞[
f'(x)≤0 si x≤1 donc f décroissante sur ]-∞;1[
(le tableau de variation en pièce jointe)
