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Bonjour
Julie888
Exercice 6
[tex]1)\ f(x)=\dfrac{5x+3}{x^2-x+1}\\\\\\f'(x)=\dfrac{(5x+3)'(x^2-x+1)-(5x+3)(x^2-x+1)'}{(x^2-x+1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{5(x^2-x+1)-(5x+3)(2x-1)}{(x^2-x+1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{5x^2-5x+5-10x^2+5x-6x+3}{(x^2-x+1)^2}\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{-5x^2-6x+8}{(x^2-x+1)^2}}[/tex]
2) a) Signe de f '(x)
Racines du numérateur :
[tex]-5x^2-6x+8=0\\\Delta=(-6)^2-4\times(-5)\times8=36+160=196\ \textgreater \ 0\\\\x_1=\dfrac{6-\sqrt{196}}{2\times(-5)}=\dfrac{6-14}{-10}=\dfrac{-8}{-10}=\dfrac{4}{5}\\\\x_2=\dfrac{6+\sqrt{196}}{2\times(-5)}=\dfrac{6+14}{-10}=\dfrac{20}{-10}=-2[/tex]
Racines du dénominateur :
[tex](x^2-x+1)^2=0\\x^2-x+1=0\\\Delta=1-4\times1\times1=1-4=-3\ \textless \ 0\Longrightarrow\ pas\ de\ racine[/tex]
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-2&&\dfrac{4}{5}&&+\infty\\&&&&&&&\\-5x^2-6x+8&&-&0&+&0&-&\\(x^2-x+1)^2&&+&+&+&+&+&\\&&&&&&&\\f'(x)&&-&0&+&0&-&\\ \end{array}[/tex]
Par conséquent,
f '(x) < 0 si x ∈ ]-oo ; -2[ U ]4/5 ; +oo[
f '(x) > 0 si x ∈ ]-2 ; 4/5[
b) Tableau de variations de f
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-2&&\dfrac{4}{5}&&+\infty\\&&&&&&&\\f'(x)&&-&0&+&0&-&\\&&&&&&&\\f(x)&&\searrow&-1&\nearrow&\dfrac{25}{3}&\searrow&\\ \end{array}[/tex]
Exercice 7
[tex]1)\ f(x)=(1-x)(x^2-2x-11)\\\\f'(x)=(1-x)'(x^2-2x-11)+(1-x)(x^2-2x-11)'\\\\f'(x)=(-1)(x^2-2x-11)+(1-x)(2x-2)\\\\f'(x)=-x^2+2x+11+2x-2-2x^2+2x\\\\\boxed{f'(x)=-3x^2+6x+9}[/tex]
2) Signes de f '(x) et variations de la fonction f.
[tex]-3x^2+6x+9=0\\\Delta=6^2-4\times(-3)\times9=36+108=144\ \textgreater \ 0\\\\x_1=\dfrac{-6-\sqrt{144}}{2\times(-3)}=\dfrac{-6-12}{-6}=\dfrac{-18}{-6}=3\\\\x_2=\dfrac{-6+\sqrt{144}}{2\times(-3)}=\dfrac{-6+12}{-6}=\dfrac{6}{-6}=-1\\\\\\\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-1&&3&&+\infty\\f'(x)&&+&0&+&0&-&\\&&&&&&&\\f(x)&&\searrow&-16&\nearrow&16&\searrow&\\ \end{array}[/tex]
3) Une équation de la tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse 1 est de la forme [tex]\boxed{y=f'(1)(x-1)+f(1)}[/tex]
Or
[tex]f(x)=(1-x)(x^2-2x-11)\Longrightarrow f(1)=(1-1)(1^2-2\times1-11)\\\\\Longrightarrow \boxed{f(1)=0}\\\\f'(x)=-3x^2+6x+9\Longrightarrow f'(1)=-3\times1^2+6\times1+9\\\\\Longrightarrow f'(1)=-3+6+9\\\\\Longrightarrow\boxed{f'(1)=12}[/tex]
Par conséquent, une équation de la tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse 1 est :
[tex]y=12(x-1)+0\\\\\Longrightarrow\boxed{(T):y=12x-12}[/tex]
Graphique en pièce jointe.
Exercice 6
[tex]1)\ f(x)=\dfrac{5x+3}{x^2-x+1}\\\\\\f'(x)=\dfrac{(5x+3)'(x^2-x+1)-(5x+3)(x^2-x+1)'}{(x^2-x+1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{5(x^2-x+1)-(5x+3)(2x-1)}{(x^2-x+1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{5x^2-5x+5-10x^2+5x-6x+3}{(x^2-x+1)^2}\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{-5x^2-6x+8}{(x^2-x+1)^2}}[/tex]
2) a) Signe de f '(x)
Racines du numérateur :
[tex]-5x^2-6x+8=0\\\Delta=(-6)^2-4\times(-5)\times8=36+160=196\ \textgreater \ 0\\\\x_1=\dfrac{6-\sqrt{196}}{2\times(-5)}=\dfrac{6-14}{-10}=\dfrac{-8}{-10}=\dfrac{4}{5}\\\\x_2=\dfrac{6+\sqrt{196}}{2\times(-5)}=\dfrac{6+14}{-10}=\dfrac{20}{-10}=-2[/tex]
Racines du dénominateur :
[tex](x^2-x+1)^2=0\\x^2-x+1=0\\\Delta=1-4\times1\times1=1-4=-3\ \textless \ 0\Longrightarrow\ pas\ de\ racine[/tex]
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-2&&\dfrac{4}{5}&&+\infty\\&&&&&&&\\-5x^2-6x+8&&-&0&+&0&-&\\(x^2-x+1)^2&&+&+&+&+&+&\\&&&&&&&\\f'(x)&&-&0&+&0&-&\\ \end{array}[/tex]
Par conséquent,
f '(x) < 0 si x ∈ ]-oo ; -2[ U ]4/5 ; +oo[
f '(x) > 0 si x ∈ ]-2 ; 4/5[
b) Tableau de variations de f
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-2&&\dfrac{4}{5}&&+\infty\\&&&&&&&\\f'(x)&&-&0&+&0&-&\\&&&&&&&\\f(x)&&\searrow&-1&\nearrow&\dfrac{25}{3}&\searrow&\\ \end{array}[/tex]
Exercice 7
[tex]1)\ f(x)=(1-x)(x^2-2x-11)\\\\f'(x)=(1-x)'(x^2-2x-11)+(1-x)(x^2-2x-11)'\\\\f'(x)=(-1)(x^2-2x-11)+(1-x)(2x-2)\\\\f'(x)=-x^2+2x+11+2x-2-2x^2+2x\\\\\boxed{f'(x)=-3x^2+6x+9}[/tex]
2) Signes de f '(x) et variations de la fonction f.
[tex]-3x^2+6x+9=0\\\Delta=6^2-4\times(-3)\times9=36+108=144\ \textgreater \ 0\\\\x_1=\dfrac{-6-\sqrt{144}}{2\times(-3)}=\dfrac{-6-12}{-6}=\dfrac{-18}{-6}=3\\\\x_2=\dfrac{-6+\sqrt{144}}{2\times(-3)}=\dfrac{-6+12}{-6}=\dfrac{6}{-6}=-1\\\\\\\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-1&&3&&+\infty\\f'(x)&&+&0&+&0&-&\\&&&&&&&\\f(x)&&\searrow&-16&\nearrow&16&\searrow&\\ \end{array}[/tex]
3) Une équation de la tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse 1 est de la forme [tex]\boxed{y=f'(1)(x-1)+f(1)}[/tex]
Or
[tex]f(x)=(1-x)(x^2-2x-11)\Longrightarrow f(1)=(1-1)(1^2-2\times1-11)\\\\\Longrightarrow \boxed{f(1)=0}\\\\f'(x)=-3x^2+6x+9\Longrightarrow f'(1)=-3\times1^2+6\times1+9\\\\\Longrightarrow f'(1)=-3+6+9\\\\\Longrightarrow\boxed{f'(1)=12}[/tex]
Par conséquent, une équation de la tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse 1 est :
[tex]y=12(x-1)+0\\\\\Longrightarrow\boxed{(T):y=12x-12}[/tex]
Graphique en pièce jointe.
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