Bonjour,
1) Df = R*
2) T(a;b) = [f(b) - f(a)]/(b - a)
f(b) - f(a)
= (1 - b)/b² - (1 - a)/a²
= [a²(1 - b) - b²(1 - a)]/a²b²
= [a² - b² - ab(a - b)]a²b²
= [(a + b)(a - b) - ab(a - b)]/a²b²
= (b - a)(ab - a - b)/a²b²
Donc T(a;b) = (ab - a - b)/a²b²
⇔ T(a;b) = [a(b/2 - 1) + b(a/2 - 1)]/a²b²
3) 0 < a < b ≤ 2
⇒ -1 < a/2 - 1 ≤ 0 et -1 < b/2 - 1 ≤ 0
⇒ -b < b(a/2 - 1) ≤ 0 et -a < a(b/2 - 1) ≤ 0 (car a et b > 0)
⇒ b(a/2 - 1) + a(b/2 - 1) ≤ 0
⇒ T(a;b) ≤ 0
⇒ f est décroissante
De même, si a et b ∈ [2;+∞[ et a < b :
....
T(a;b) ≥ 0 ⇒ f est croissante.
4) sur ]-∞;0[, supposons 0 > a > b
⇒ (a/2 - 1) < 0 et (b/2 - 1) < 0
⇒ b(a/2 - 1) > 0 et a(b/2 - 1) > 0 car a et b < 0
⇒ a(b/2 - 1) + b(a/2 - 1) > 0
⇒ T(a;b) > 0
⇒ f est croissante
5)
x -∞ 0 2 +∞
f(x) croissante || décroissante croissante
