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résolu

Bonsoir, pouvez vous m'aider à faire cette question sur les loi binomiales? Merci d'avances.


Une variables aléatoire X suit une loi binomiale B(n,p).

1. Montrer que quel que soit n, la variance est maximale lorsque p=1/2
2. Déterminer n et p dans le cas où E(X)=0.4 et σ(X)= 0,6.

Répondre :

SCOLADANVIZ
Bonjour,

je crois que ce résultat est admis en 1ère : V(X) = np(1 - p)

Si on considère la fonction f : p → f(p) = p(1 - p) = p - p² définie sur [0;1]

f'(p) = - 2p + 1

f' s'annule pour p = 1/2

Tableau de variations de f :

p        0                    1/2                        1
f'(p)              +            0              -
f(p)        croissante        décroissante

f atteint donc un maximum pour p =1/2 (et f(1/2) = 1/4)

Et donc, quel que soit n, np(1 - p) est maximum pour p = 1/2

2) E(X) = np et σ(X) = √(V(X)) = √(np(1 - p))

⇒ np = 0,4 et √(np(1 - p)) = 0,6

soit np(1 - p) = 0,6² = 0,36

⇒ 1 - p = 0,36/np = 0,36/0,4 = 0,9

⇒ p = 1 - 0,9 = 0,1

⇒ n = 0,4/0,1 = 4


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