Bonjour
Emezenoula
[tex]f(x)=2\sin x-\dfrac{1}{2}\cos 2x[/tex]
[tex]1)\ f(x+2\pi)=2\sin(x+2\pi)-\dfrac{1}{2}\cos2(x+2\pi)\\\\f(x+2\pi)=2\sin(x+2\pi)-\dfrac{1}{2}\cos(2x+4\pi)\\\\f(x+2\pi)=2\sin(x+2\pi)-\dfrac{1}{2}\cos(2x+2\times2\pi)\\\\f(x+2\pi)=2\sin x-\dfrac{1}{2}\cos 2x\\\\\Longrightarrow\boxed{f(x+2\pi)=f(x)}[/tex]
Par conséquent, f est périodique de période [tex]2\pi[/tex]
[tex]2)\ f'(x)=2(\sin x)'-\dfrac{1}{2}(\cos 2x)'\\\\f'(x)=2\cos x-\dfrac{1}{2}\times(-2\sin 2x)\\\\f'(x)=2\cos x+\sin 2x\\\\f'(x)=2\cos x+2\sin x\cos x\\\\\boxed{f'(x)=2\cos x(1+\sin x)}[/tex]
3) Tableau de variation de f sur [0 ; 2π]
Etude du signe de f '(x) et variation de f sur [0 ; 2π]
[tex]2\cos x(1+\sin x)=0\\\\2\cos x=0\ \ ou\ \ 1+\sin x=0\\\\\cos x=0\ \ ou\ \ \sin x=-1\\\\\textup{Dans l'intervalle [0;}\pi],\\\\\cos x=0\Longrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}\ \ ou\ \ x=\dfrac{3\pi}{2}\\\\\sin x=-1\Longrightarrow x=\dfrac{3\pi}{2}\\\\\\\begin{array}{|c|ccccccc|} x&0&&\dfrac{\pi}{2}&&\dfrac{3\pi}{2}&&2\pi\\&&&&&&&\\\cos x&&+&0&-&0&+&\\1+\sin x&&+&+&+&0&+&\\&&&&&&&\\f'(x)&&+&0&-&0&+&\\&&&&&&&\\f(x)&-\dfrac{1}{2}&\nearrow&\dfrac{5}{2}&\searrow&-\dfrac{3}{2}&\nearrow&-\dfrac{1}{2}\\ \end{array}[/tex]
4) Courbe sur l'intervalle [-π ; π] en pièce jointe.
