1) g est croissante. Preuve: Soit x=0 et y=1/2. Alors on a xg(y)=2/3*ln (1+1)=ln(2)*2/3=0.4 environ
On a donc si x2)a) On pose Pn: Un appartient a [alpha;4]
Initialisation: n=o on a Uo=4 et 4 appartient bien à [alpha;4] donc Po vraie
Héredité: On suppose qu'il existe n tq Pn vraie donc Un appartient à [alpha;4]
On a Un+1=g(Un)=2/3*ln(2Un+1). On a bien Un+1<=4 car 2*ln 9/3<4. On a aussi Un+1>alpha car Un est associée à g qui est croissante. Donc Un+1 appartient à [alpha;4] donx Pn+1 vraie donc Pn héréditaire et on montré ce qu'on voulait
Un décroissante: On calcule Un+1-Un=2/3*ln(2Un-1)-Un. Or ln(x)Un est décroissante, minorée par alpha donc elle converge vers un réel noté L
Calcul de L: L vérifie L=g(L) donc L=2/3*ln(2L+1) donc 2/3*ln(2L+1)-L=0 et on trouve L par analyse graphique de la fonction f(x)= g(x)-x
