Bonjour
Moussa30
Figure en pièce jointe.
Soit R le rayon de la sphère.
Le volume d'un cylindre de rayon r et de hauteur h est donné par la formule
[tex]V=\pi\times r^2\times h[/tex]
Le rayon de la base du cylindre est AB = r et la hauteur est BC = h
Par Pythagore dans le triangle ABO rectangle en B, nous avons :
[tex]AO^2=AB^2+BO^2\\\\R^2=r^2+(\dfrac{h}{2})^2\\\\R^2=r^2+\dfrac{h^2}{4}\\\\\boxed{r^2=R^2-\dfrac{h^2}{4}}[/tex]
Par conséquent,
[tex]V=\pi\times(R^2-\dfrac{h^2}{4})\times h\\\\\\\boxed{V=\pi(R^2h-\dfrac{h^3}{4})}[/tex]
Etudions les variations de V en fonction de h.
[tex]V'(h)=\pi(R^2h-\dfrac{h^3}{4})'\\\\V'(h)=\pi(R^2-\dfrac{3h^2}{4})\\\\V'(h)=\pi(\dfrac{4R^2-3h^2}{4})\\\\V'(h)=\dfrac{\pi}{4}(4R^2-3h^2)[/tex]
Déterminons les racines de V '(h).
[tex]V'(h)=0\\\\\dfrac{\pi}{4}(4R^2-3h^2)=0\\\\4R^2-3h^2=0\\\\3h^2=4R^2\\\\h^2=\dfrac{4R^2}{3}\\\\h=-\sqrt{\dfrac{4R^2}{3}}\ \ ou\ \ h=\sqrt{\dfrac{4R^2}{3}}\\\\h=-\dfrac{2R}{\sqrt{3}}\ \ ou\ \ h=\dfrac{2R}{\sqrt{3}}\\\\\\\\\begin{array}{|c|ccccccccc|} x&-\infty&&-\dfrac{2R}{\sqrt{3}}&&0&&\dfrac{2R}{\sqrt{3}}&&+\infty\\&&&&&&&&&\\V'(h)&&-&0&+&+&+&0&-&\\&&&&&&&&&\\V(h)&&||&||&||&0&\nearrow&V(\dfrac{2R}{\sqrt{3}})&\searrow&\\ \end{array}[/tex]
Donc, le volume du cylindre sera maximal si [tex]\boxed{h=\dfrac{2R}{\sqrt{3}}}[/tex]
Nous avons montré que [tex]r^2=R^2-\dfrac{h^2}{4}[/tex]
Donc pour la volume maximal, nous aurons :
[tex]r^2=R^2-\dfrac{h^2}{4}\\\\r^2=R^2-\dfrac{\dfrac{4R^2}{3}}{4}\\\\r^2=R^2-\dfrac{R^2}{3}\\\\r^2=\dfrac{2R^2}{3}\\\\\\\boxed{r=R\sqrt{\dfrac{2}{3}}}[/tex]
Par conséquent,
le volume du cylindre sera maximal si [tex]\boxed{h=\dfrac{2R}{\sqrt{3}}}[/tex] et si [tex]\boxed{r=R\sqrt{\dfrac{2}{3}}}[/tex]
