Exercice 97 :
1) Ceci reviens à prouver que (1-cos x)(1+cos x) = (sin x)(sin x) c'est à dire :
1² - cos² x = sin² x : IR a²+b² = (a-b)(a+b)
Or on sais que (sin x)² + (cos x)² = 1 [selon le théorème de Pythagore]
Ainsi, sin² x = 1 - cos² x : CQFD
Même démarche pour le 2).
Exercice 104 :
1) Avec un logiciel de calcul formel, on trouve 2*cos²(2x) - 4*cos(2x) + 2 (http://www.xcasenligne.fr/giac_online/demoGiacPhp.php).
Notes : on voit que le -4cos(2x) se conserve : on n'y touche pas, et on
applique la formule cos(a+b) = cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b) sur cos(4x). C'est important que tu comprennes, essaie d'abord de le faire sans regarder ma résolution.
Résolution :
3 + cos(4x) - 4*cos (2x)
= 3 + cos(2x+2x) - 4*cos (2x)
= 3 + [cos(2x)*cos(2x) - sin(2x)*sin(2x)] - 4*cos (2x)
= 3 + [cos²(2x) - sin²(2x)] - 4*cos (2x)
= 3 + cos²(2x) - [1-cos²(2x)] - 4*cos (2x) : car sin²(2x) = 1 - cos²(2x)
= 3 + cos²(2x) - 1 + cos²(2x) - 4*cos (2x)
= 2 cos²(2x) - 4*cos (2x) + 2 : CQFD
Exercice 123 :
Je te donne la méthode. Il faut temporairement remplacer sin(x) ou cos(x) par une variable, X par exemple (ne prend pas petit x, la même que dans l'énoncé).
2 sin² x - 3sin x - 2 = 0
2 X² - 3X - 2 = 0 : tu sais résoudre ça.
Admettons que tu trouves -1/2 et 8 :
*[tex]X_{1}
[/tex] = sin(x) = -1/2
Les solutions sont de la forme x1 = -π/6 + k2π et x2 = -5π/6 + k2π (k entier relatif). Tu résous ça avec le cercle trigonométrique.
*[tex]X_{2}
[/tex] = sin(x) = 8
Aucune solution réelle.
La démarche est toujours la même.
Exercice 138 :
1) cos X < [tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]. Tu résous ça avec le cercle trigo : trace en vert ou rouge la portion du rayon qui respecte cette équation. Regarde la figure jointe pour comprendre.
cos X < [tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex] pour tout x ∈ [π/6 ; 11π/6] modulo 2π
(C'est à dire π/6 < X < 11π/6)
2) X = (2x - π/2)
π/6 < (2x - π/2) 11π/6
π/6 +π/2 < 2x < 11π/6 + π/2
4π/6 < 2x < 14π/6
2π/6 < x < 7π/6
π/3 < x < 7π/6
Ainsi x ∈ [π/3 ; 7π/6]
Mais aussi π/6 - 2π < X < 11π/6 - 2π(Modulo 2π) :
π/6 - 2π< (2x - π/2) < 11π/6 - 2π
π/6 - 12π/6 < (2x - π/2) < 11π/6 - 12π/6
-11π/6 < (2x - π/2) < -π/6
-11π/6 +π/2 < 2x< -π/6 +π/2
-8π/6 < 2x < 2π/6
-4π/3 < 2x < π/3
-4π/6 < x < π/6
-2π/3 < x < π/6
Ainsi x ∈ [-2π/3 ; π/6]
Donc x ∈ [π/3 ; 7π/6] U [-2π/3 ; π/6]
b) et c) Je te laisse faire, demande si t'as besoin d'aide
