Bonjour ;
Tout d'abord , le domaine de définition de f est : [tex]D_f = ]-\infty ; -1[ \cup ]1- ; +\infty[ [/tex] .
Pour [tex]x\ne -1[/tex] , on a :
x - 3 + 3/(x + 1) = (x - 3)(x + 1)/(x - 1) + 3/(x + 1) = (x² - 2x - 3)/(x + 1) + 3/(x + 1)
= (x² - 2x - 3 + 3)/(x + 1) = (x² - 2x)/(x + 1) = f(x) .
On a aussi : [tex] \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (x^2-2x)/(x + 1) = \lim_{x \to -\infty} x = - \infty [/tex],
de même : [tex] \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (x^2-2x)/(x + 1) = \lim_{x \to +\infty} x = + \infty [/tex] .
On a : [tex] \lim_{x \to -1^{-} \frac{1}{x+1} = -\infty [/tex] et [tex] \lim_{x \to -1^{-}} x - 3 = - 4 [/tex] ,
donc : [tex] \lim_{x \to -1^{-}} f(x) = \lim_{x \to -1^{-}} x - 3 + \frac{3}{x + 1} = - \infty [/tex] .
de même , on a : [tex] \lim_{x \to -1^{+} \frac{1}{x+1} = +\infty [/tex] et [tex] \lim_{x \to -1^{+}} x - 3 = - 4 [/tex] ,
donc : [tex] \lim_{x \to -1^{+}} f(x) = \lim_{x \to -1^{+}} x - 3 + \frac{3}{x + 1} = + \infty [/tex] .
On a : [tex]f'(x) = \frac{x^2 + 2x - 2}{ (x+1)^{2} } [/tex] ,
donc f ' est nulle pour les valeurs de x qui annulent x² + 2x - 2 ,
c-à-d pour [tex]x = -1- \sqrt{3} [/tex] et [tex]x = - 1 + \sqrt{3} [/tex] .
Le tableau de variation de f est sur le fichier ci-joint .
