Bonjour,
1)
a) Df = ]-∞;-1[U]-1;+∞[
b)
x -∞ -3 -1 1 +∞
f'(x) + 0 - || - 0 +
f(x) crois. décrois. décrois. crois.
c) Tangentes // à l'axe des abscisses ⇒ f'(x) = 0
soit x = -3 et x = 1
2) La droite d'équation x = -1 est axe de symétrie de la courbe représentative de la fonction f'
On en déduit : f'(-1-x) = f'(-1+x) pour tout x ∈ Df' (soit x ≠ -1)
Equation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse α :
y = f'(α)(x - α) + f(α)
Equation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse (-α - 2) :
y = f'(-α - 2)(x - (-α - 2)) + f(-α - 2)
Pour que ces deux tangentes soient parallèles il faut qu'elles aient le même coefficient directeur, soit f'(α) = f'(-α - 2)
Or on sait que : f'(-1-x) = f'(-1+x)
Donc en posant : α = -1 - x, soit x = -1 - α
on a : -1 + x = -1 - 1 - α = -α - 2
Et donc : f'(α) = f'(-α - 2)
On a donc démontré que pour tout réel α ≠ -1, f'(α) = f'(-α - 2), et donc que les tangentes à la courbe représentative de la fonction f aux points d'abscisses α et (-α - 2) sont parallèles.
3) f(x) = ax + b + c/(x + 1)
a) f(1) = 0 ⇒ a + b + c/2 = 0 (équation 1)
Le point de coordonnées (1;0) est un extrémum ⇒ f'(1) = 0
f'(x) = a - c/(x + 1)²
⇒ f'(1) = a - c/4
Donc a - c/4 = 0 (équation 2)
⇔ a = c/4
(équation 1) ⇒ c/4 + b + c/2 = 0
⇔ b = - 3c/4
D'après la courbe de f', on sait aussi que lim f'(x) quand x → + ou - ∞ = 1
Or lim f'(x) quand x → + ou - ∞ = a
Donc a = 1
Et donc c = 4 et b = -3
Soit f(x) = x - 3 + 4/(x + 1)
b) lim f(x) en +∞ = +∞
lim f(x) en -∞ = -∞
lim f(x) quand x → -1⁻ = +∞
lim f(x) quand x → -1⁺ = -∞
c) voir 1)d) et ajouter les limites précédentes
d) ?? équations des asymptotes
Asymptote verticale : x = -1 car lim en -1⁻ ou -1⁺ = + ou - ∞
Asymptote oblique : y = x - 3
En effet :
f(x) - (x - 3) = 4/(x + 1)
Et lim 4/(x + 1) quand x → + ou - ∞ = 0 (⁺ ou ⁻)
