Bonjour,
1)
a) Df = ]-â;-1[U]-1;+â[
b)
x -â -3 -1 1 +â
f'(x) + 0 - || - 0 +
f(x) crois. décrois. décrois. crois.
c) Tangentes // Ă l'axe des abscisses â f'(x) = 0
soit x = -3 et x = 1
2) La droite d'équation x = -1 est axe de symétrie de la courbe représentative de la fonction f'
On en dĂ©duit : f'(-1-x) = f'(-1+x) pour tout x â Df' (soit x â -1)
Equation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse α :
y = f'(α)(x - α) + f(α)
Equation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse (-α - 2) :
y = f'(-α - 2)(x - (-α - 2)) + f(-α - 2)
Pour que ces deux tangentes soient parallĂšles il faut qu'elles aient le mĂȘme coefficient directeur, soit f'(α) = f'(-α - 2)
Or on sait que : f'(-1-x) = f'(-1+x)
Donc en posant : α = -1 - x, soit x = -1 - α
on a : -1 + x = -1 - 1 - α = -α - 2
Et donc : f'(α) = f'(-α - 2)
On a donc dĂ©montrĂ© que pour tout rĂ©el α â -1, f'(α) = f'(-α - 2), et donc que les tangentes Ă la courbe reprĂ©sentative de la fonction f aux points d'abscisses α et (-α - 2) sont parallĂšles.
3) f(x) = ax + b + c/(x + 1)
a) f(1) = 0 â a + b + c/2 = 0 (Ă©quation 1)
Le point de coordonnĂ©es (1;0) est un extrĂ©mum â f'(1) = 0
f'(x) = a - c/(x + 1)ÂČ
â f'(1) = a - c/4
Donc a - c/4 = 0 (Ă©quation 2)
â a = c/4
(Ă©quation 1) â c/4 + b + c/2 = 0
â b = - 3c/4
D'aprĂšs la courbe de f', on sait aussi que lim f'(x) quand x â + ou - â = 1
Or lim f'(x) quand x â + ou - â = a
Donc a = 1
Et donc c = 4 et b = -3
Soit f(x) = x - 3 + 4/(x + 1)
b) lim f(x) en +â = +â
lim f(x) en -â = -â
lim f(x) quand x â -1â» = +â
lim f(x) quand x â -1âș = -â
c) voir 1)d) et ajouter les limites précédentes
d) ?? Ă©quations des asymptotes
Asymptote verticale : x = -1 car lim en -1â» ou -1âș = + ou - â
Asymptote oblique : y = x - 3
En effet :
f(x) - (x - 3) = 4/(x + 1)
Et lim 4/(x + 1) quand x â + ou - â = 0 (âș ou â»)
