Bonsoir ;
1) Df = R .
∀ x ∈ R : x + 2π ∈ R .
f(x + 2π) = 2sin(x + 2π) - 1/2 cos(2(x + 2π))
= 2sin(x) - 1/2 cos(2x + 4π)= 2sin(x) - 1/2 cos(2x) = f(x) : donc f est périodique de période 2π .
2) f ' (x) 2cos(x) - 1/2 * 2 * (- sin(2x)) = 2cos(x) + sin(2x)
= 2cos(x) + 2sin(x) cos(x) = 2cos(x)(1 + sin(x)) .
3) 1 + sin(x) est toujours positive , donc f ' est du signe de cos(x) .
f ' (x) = 0 ⇒ cos(x) = 0 ou 1 + sin(x) = 0
⇒ x = π/2 ou x = 3π/2 ou sin(x) = - 1 = sin(3π/2)
⇒ x = π/2 ou x = 3π/2 ,
donc f ' s'annule en x = π/2 et x = 3π/2 ,
f ' est strictement positive sur : [0 ; π/2[ ∪ ]3π/2 ; 2π] ,
et strictement négative sur : ]π/2 ; 3π/2[ ,
donc f est strictement croissante sur : [0 ; π/2[ ∪ ]3π/2 ; 2π] ,
et strictement décroissante sur : ]π/2 ; 3π/2[ ,
avec f(0) = - 1/2 ; f(π/2) = 5/2 ; f(3π/2) = - 3/2 et f(2π) = - 1/2 .
