Bonsoir ;
1)
a)
[tex]S_{n+1} = U_{n+1}+V_{n+1} = \dfrac{3U_n+V_n}{2} +1 + \dfrac{U_n+3V_n}{2} -1 \\\\ = \dfrac{4U_n + 4V_n}{2} = 2(U_n + V_n) = 2S_n .[/tex]
[tex]D_{n+1} = U_{n+1}-V_{n+1} = \dfrac{3U_n+V_n}{2} +1 - \dfrac{U_n+3V_n}{2} +1 \\\\ = \dfrac{2U_n - 2V_n}{2} + 2 = U_n - V_n + 2 = D_n + 2 .[/tex]
b)
[tex](S_n)[/tex] est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme [tex]S_0=U_0 + V_0 = 1[/tex] .
[tex](D_n)[/tex] est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme [tex]D_0=U_0 - V_0 = 1[/tex] .
2)
a) [tex]S_n = 2^{n} S_0 = 2^{n} .[/tex]
[tex]D_n = D_0 + 2n = 2n + 1 .[/tex]
b) [tex]S_n + D_n = U_n + V_n + Un - V_n = 2U_n [/tex]
donc :
[tex]U_n = \dfrac{S_n + D_n}{2} = \dfrac{ 2^{n}+ 2n + 1 }{2} = 2^{n-1} + n + \dfrac{1}{2} .[/tex]
[tex]S_n - D_n = U_n + V_n - Un + V_n = 2V_n [/tex]
donc :
[tex]V_n = \dfrac{S_n - D_n}{2} = \dfrac{ 2^{n}- 2n - 1 }{2} = 2^{n-1} - n - \dfrac{1}{2} .[/tex]
