Bonjour,
Exercice 9 :
On sait que le carré ABCD est de côté 5 cm, et que comme HIJK est aussi un carré, alors AI = BJ = CK = DH = 1 cm.
Donc IB = JC = KD = HA = 5-1 = 4 cm.
Pour trouver la valeur de côté du carré HIJK, on applique le théorème de Pythagore sur le triangle rectangle AIH par exemple. En effet, comme ABCD est un carré, alors le triangle AIH est rectangle en A.
Donc IH² = AI²+AH² = 1²+4² = 1+16 = 17
Donc IH = √17 cm
Donc le carré HIJK est de côté √17 cm.
On sait l'aire d'un carré est le carré de sa valeur de côté.
Donc [tex]A_{HIJK}=( \sqrt{17})^2 =17cm^2 [/tex]
Exercice 10 :
1) I est le milieu de [DC]
J est le milieu de [EC]
Donc la droite (IE) est la médiane du triangle DEC passant par E, et la droite (DJ) est la médiane du triangle DEC passant par D.
Comme G est le point d'intersection de deux des trois médianes du même triangle DEC, alors G est bien le centre le gravité du triangle DEC.
2) Le triangle IEC est rectangle.
Comme D est le symétrique de C par rapport à I, alors le triangle IED est rectangle aussi.
On en déduit que le triangle IED est le symétrique de IEC par rapport à la droite (IE), donc CE = ED.
Comme IC = 1/2 CE, et que D est le symétrique de C par rapport à I, alors CD = 2IC = 2*1/2 CE = CE. Donc CD = CE.
Donc CD = CE = ED. Donc le triangle DEC est équilatéral.
3) La médiane d'un triangle équilatéral est toujours la médiatrice du segment opposé au sommet où passe la médiane en question.
Donc (DJ) et (CE) sont perpendiculaires.
4) Le centre cercle circonscrit à un triangle est toujours le point d'intersection des trois médiatrices de ce triangle. Or les médianes d'un triangle équilatéral sont également ses médiatrices, comme mentionné à la question précédentes. Donc le centre du cercle circonscrit à un triangle équilatéral est également le centre de gravité de ce triangle. Donc le centre du cercle circonscrit à DEC est le point G.
5) (CG) correspond à la dernière médiane du traingle DEC, mais aussi à la dernière médiatrice du triangle DEC. Donc le point K est forcément le milieu de [DE].
Comme G est à la fois le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit à DEC, alors les point I, J et K appartiennent au cercle de centre G.
