Bonjour,
1. a. f(x) = 4x²+4x-3 = 4x²+6x-2x-3 = 2x*2x+2x*3-1*2x-1*3 = (2x-1)(2x+3)
b. f(x) = 4x²+4x-3 = (4x²+4x+1)-4
Or a²+2ab+b² = (a+b)²
Donc f(x) = (2x+1)²-4
2. a. f(x) = 0 ⇒ (2x-1)(2x+3) = 0 ⇒ 2x-1 = 0 ou 2x+3 = 0 ⇒ 2x = 1 ou 2x = -3 ⇒ x = 1/2 ou x = -3/2
Donc les antécédents de 0 par f sont -3/2 et 1/2.
b. f(x)= (2x+1)²- 4
Comme le carré d'un nombre est toujours positif ou nul, alors (2x+1)² ≥ 0
Donc (2x+1)²- 4 ≥ -4
Donc f est minorée par -4.
c. Une fonction du second degré est de la forme ax²+bx+c
Quand a > 0, alors la fonction est décroissante puis croissante.
Quand a < 0, alors la fonction est croissante puis décroissante.
Dans f, a = 4, donc a > 0.
Donc f est décroissante puis croissante.
Or les antécédents de 0 par f sont -3/2 et 1/2.
Donc on en déduit que :
f est positive sur ]-∞;-3/2[∪]1/2;+∞[
f est négative sur ]-3/2;1/2[
f est nulle en -3/2 et en 1/2
d. f(x) ≥ 5 ⇒ (2x+1)²-4 ≥ 5 ⇒ (2x+1)²-9 ≥ 0 ⇒ (2x+1-3)(2x+1+3) ≥ 0 ⇒ (2x-2)(2x+4) ≥ 0
Soient les inéquations suivantes :
2x-2 ≥ 0 ⇒ 2x ≥ 2 ⇒ x ≥ 1
2x+4 ≥ 0 ⇒ 2x ≥ -4 ⇒ x ≥ -2
On en déduit alors que f(x) ≥ 5 ⇒ x∈]-∞;-2]∪[1;+∞[
(Tu peux construire un tableau de signes pour vérifier l'inéquation, si tu veux)
