Bonjour,
1. (a)
A(x) ≤ 27 ⇒ -x²+4x+32 ≤ 27 ⇒ -x²+4x+5 ≤ 0 ⇒ 5x+5-x²-x ≤ 0 ⇒ 5*x+5*1-x*x-x*1 ≤ 0 ⇒ (5-x)(x+1) ≤ 0
(b)
5-x ≥ 0 ⇒ x ≤ 5
x+1 ≥ 0 ⇒ x ≥ -1
On construit alors un tableau de signes (voir pièce-jointe).
Donc A(x) ≤ 27 ⇒ x∈]-∞;-1]∪[5;+∞[
(si la fonction est définie sur R+, alors la réponse est x∈[5;+∞[ )
Cela est donc conforme à la conjecture émise précédemment.
2. (a)
A(x) = -x²+4x+32 = 32-x²+4x = 36-4-x²+4x = 36-(x²-4x+4) = 36-(x-2)²
(b)
On remarque que la forme de A déterminée précédemment est en fait sa forme canonique.
En effet, la forme canonique d'une fonction du second degré est :
a(x-α)²+β
Avec (α;β) les coordonnées de l'extremum.
Or ici, a = -1, donc a < 0, donc l'extremum de A est en fait son maximum.
Ici, α = 2 et β = 36
Donc le maximum de A est 36, atteint en 2.
