Bonjour Charline661,
[tex]f(x)=\dfrac{2}{3}x^3+2x^2-6x+5[/tex]
1) f est une fonction polynôme.
Donc l'ensemble de définition de la fonction f est [tex]\boxed{D_f=\mathbb{R}}[/tex]
2) Dérivée de la fonction f.
[tex]f(x)=\dfrac{2}{3}x^3+2x^2-6x+5\\\\f'(x)=\dfrac{2}{3}\times3x^2+2\times2x-6\times1+0\\\\\boxed{f'(x)=2x^2+4x-6}[/tex]
[tex]3)\ f(x)=\dfrac{2}{3}x^3+2x^2-6x+5\\\\\Longrightarrow f(-2)=\dfrac{2}{3}\times(-2)^3+2\times(-2)^2-6\times(-2)+5\\\\f(-2)=\dfrac{2}{3}\times(-8)+2\times4-6\times(-2)+5\\\\f(-2)=\dfrac{-16}{3}+8+12+5\\\\f(-2)=\dfrac{-16}{3}+25\\\\f(-2)=\dfrac{-16}{3}+\dfrac{75}{3}\\\\\boxed{f(-2)=\dfrac{59}{3}}[/tex]
[tex]f'(x)=2x^2+4x-6\\\\\Longrightarrow f'(2)=2\times2^2+4\times2-6\\\\f'(2)=2\times4+8-6\\\\f'(2)=8+8-6\\\\\boxed{f'(2)=10}[/tex]
4) Equation de la tangente T2.
Une équation de la tangente T2 à la courbe Cf en x = 2 est de la forme : [tex]\boxed{y=f'(2)(x-2)+f(2)}[/tex]
Or
[tex]f'(2)=10\\\\f(2)=\dfrac{2}{3}\times2^3+2\times2^2-6\times2+5=\dfrac{16}{3}+8-12+5=\dfrac{19}{3}[/tex]
D'où
[tex](T_2):y=10(x-2)+\dfrac{19}{3}\\\\(T_2):y=10x-20+\dfrac{19}{3}\\\\\boxed{(T_2):y=10x-\dfrac{41}{3}}[/tex]
Nous pouvons vérifier la cohérence de cette équation en déterminant les valeurs des images de réels proches de 2 et en montrant que les points de la courbe dans ce voisinage de 2 sont situés au-dessus de la droite T2 sauf pour x=2 auquel cas la courbe et la droite ont un point commun.
Posons [tex]g(x)=10x-\dfrac{41}{3}[/tex]
Tableau de valeurs de f et de g pour des x proches de 2.
[tex]\begin{array}{|c|ccccccccccc|} x&1,5&1,6&1,7&1,8&1,9&2&2,1&2,2&2,3&2,4&2,5\\f(x)&2,8&3,3&3,9&4,6&5,4&6,3&7,4&8,6&9,9&11,3&13\\g(x)&1,3&2,3&3,3&4,3&5,3&6,3&7,3&8,3&9,3&10,3&11,3\\ \end{array}[/tex]
Nous remarquons que f(x) ≥ g(x) pour des valeurs de x proches de 2 et que f(2) = g(2).
Par conséquent, il est vraisemblable que la droite T2 soit tangente à la courbe Cf et que cette courbe se situe au-dessus de la droite T2.
5) Variations de la fonction f
Signe de la dérivée et variations de f
[tex]f'(x)=0\\\\2x^2+4x-6=0\\\\x^2+2x-3=0\\\\\Delta=2^2-4\times1\times(-3)=4+12=16\ \textgreater\ 0\\\\x_1=\dfrac{-2-\sqrt{16}}{2}=\dfrac{-2-4}{2} =-3\\\\x_2=\dfrac{-2+\sqrt{16}}{2}=\dfrac{-2+4}{2}=1\\\\\\\begin{array}{|c|ccccccc|}x&-\infty&&3&&1&&+\infty\\f'(x)&&+&0&-&0&+&\\f(x)&&\nearrow&23&\searrow&\dfrac{5}{3}&\nearrow&\\\end{array}[/tex]
6) Tableau de valeurs de f
[tex]\begin{array}{|c|cccccccccc|} x&-6&-5&-4&-3&-2&-1&0&1&2&3\\f(x)&-31&1,7&18,3&23&19,7&12,3&5&1,7&6,3&23\\ \end{array}[/tex]
Courbe Cf en pièce jointe.
