Bonjour,
1. On trace un polygone convexe à 4 côtés ainsi que ses diagonales.
On fait de même pour des polygones à 5, 6 et 7 côtés.
Graphiquement, on constate que :
[tex]d_4 = 2[/tex]
[tex]d_5 = 5[/tex]
[tex]d_6 = 9[/tex]
[tex]d_7 = 14[/tex]
(Si tu dois montrer tes représentations graphiques, alors je t'envoie en pièce-jointe l'allure d'un polygone convexe à 6 côtés avec ses diagonales, afin de te montrer un exemple)
2. a. Comme le polygone reste convexe, les diagonales de ABCDEF qui ne sont pas diagonales de ABCDE sont les segment reliant F à chaque point d'ABCDEF excepté les deux points "voisins" de F, mais aussi le segment reliant les deux points "voisins" de F entre eux. Donc par exemple, si les points voisins de F sont A et E, alors les diagonales de ABCDEF qui n'étant pas diagonales de ABCDE sont les segments [FB], [FC], [FD] et [AE].
Donc [tex]d_6 = d_5+4[/tex]
b. On en déduit que [tex]d_{n+1} = d_n+(n-1)[/tex]
3. Soit P(n) : "[tex]d_n = \frac{n(n-3)}{2}[/tex] " pour tout n entier supérieur ou égal à 4.
Initialisation :
[tex]d_4 = \frac{4(4-3)}{2} = \frac{4}{2} = 2 [/tex]
On retrouve le résultat de la question 1, donc P(4) est vraie.
Hérédité :
Supposons que P(n) est vraie. Démontrons que P(n+1) est vraie.
[tex]d_{n+1} = d_n+(n-1)[/tex]
Comme P(n) est vraie, alors [tex]d_{n+1} = \frac{n(n-3)}{2}+(n-1) = \frac{n(n-3)}{2}+ \frac{2(n-1)}{2}=\frac{n(n-3)+2(n-1)}{2}=[/tex] [tex]\frac{n^2-3n+2n-2}{2} = \frac{n^2-n-2}{2} = \frac{n^2-2n+n-2}{2} = \frac{(n+1)(n-2)}{2} = \frac{(n+1)((n+1)-3)}{2} [/tex]
Donc P(n+1) est vraie.
Conclusion :
P(n) est vraie pour tout entier n supérieur ou égal à 4.
