Bonsoir,
Soit P la propriété : " ∀n ∈ N, (4^n) -1 est multiple de 3"
Initialisation : Montrons que la propriété P est vrai pour n = 1
4^0- 1 = 1 - 1 = 0
0 étant multiple de 3, P est vraie pour n=1
Hérédité : Supposons que P pour n.
Montrons que P est vraie pour n+1 c'est à dire que 4^(n+1) - 1 est multiple de 3 sachant 4^( n ) - 1 = 3m ( m un entier naturel )
4^(n)- 1 = 3m
4^(n) = 3m + 1
Or 4^(n+1) - 1 = ( 4 × 4^n ) - 1
4^( n+1 ) - 1 = 4 ( 3m+1 ) - 1
4^( n+1 ) - 1 = 12m + 3
4^( n+1 ) - 1 = 3 ( 4m+1 )
4m+1 étant un entier, 4^(n+1) - 1 est divisible par 3 donc il y a hérédité.
Conclusion P est vrai pour tout n entier naturel
